Jak rychle roste počet druhů rostlin s plochou ostrova?

Logo kurzu Biostatistika BIOSTATISTIKA

L10

Tvar rozdělení, transformace a nelinearita

cuni-natur-biostatistics.github.io/materialy.html

Želva botanička a pěnkava stojí na pobřeží Galapág; kolem nich leží sopečné ostrovy velmi různých velikostí, od drobných skalek po velký zelený ostrov. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Ilustrace vytvořená pomocí AI. Družicový snímek: NASA/GSFC (volné dílo).

Kolikrát víc druhů rostlin má desetkrát větší ostrov?

Družicový snímek tmavě modrého oceánu s rozptýlenými ostrovy Galapág. Ostrovy se velmi liší velikostí: od několika obrovských sopečných ostrovů po drobné skalky.


Na větších ostrovech roste více druhů rostlin. Ale kolikrát více?


A · asi 1,5krát

C · asi 5krát

B · asi 2,5krát

D · 10krát

Snímek: J. Descloitres, MODIS Rapid Response Project, NASA/GSFC (volné dílo), 12. 3. 2002

Co si pamatujete z minulé lekce?

Odpovězte samostatně na tři krátké otázky. Na telefonu neuvidíte odpovědi ostatních; společné výsledky otevřeme až po hlasování.

QR kód otevírající anonymní dotazník PollsLive se třemi otázkami.

Otevřít dotazník v novém okně

Jak odpovídala skupina?

Otevřít výsledky mimo prezentaci

Proč model Různé sklony nemá nejvyšší adjustované R², přestože má nejvyšší R²?

Tabulka tří kandidátních modelů pro výšku stromů s počtem koeficientů, R² a adjustovaným R². Model Různé sklony má nejvyšší R², model Posun mezi druhy nejvyšší adjustované R².

  • Adjustované R² je podíl správně předpovězených stromů.
  • Model Různé sklony byl odhadnut z jiných stromů.
  • Dva sklony navíc zlepšily shodu s daty příliš málo.
  • Adjustované R² je u složitějšího modelu vždy nižší.

Správná odpověď: Dva sklony navíc zlepšily shodu s daty příliš málo.

R² po přidání koeficientů neklesne; adjustované R² za každý koeficient navíc penalizuje.

Model Posun mezi druhy má ΔAIC = 0. Co to znamená?

Tabulka AIC a ΔAIC tří kandidátních modelů pro výšku stromů; model Posun mezi druhy má ΔAIC rovné nule.

  • Má nejnižší AIC z těchto tří kandidátů odhadnutých ze stejných 63 stromů.
  • Jeho residua jsou nulová, takže model předpovídá výšky bez chyby.
  • Je to pravdivý model růstu stromů.
  • Jeho AIC můžeme porovnat i s AIC modelu odhadnutého z jiných dat.

Správná odpověď: Má nejnižší AIC z těchto tří kandidátů odhadnutých ze stejných 63 stromů.

ΔAIC = 0 označuje nejnižší AIC v této sadě kandidátů. Neříká nic o pravdivosti modelu; AIC porovnáváme jen při stejné odezvě a stejných pozorováních.

Co prozrazuje oblouk v residuích modelu Posun mezi druhy?

Bodový graf residuí modelu Posun mezi druhy proti odhadnuté výšce stromu s vyhlazenou křivkou. Residua nízkých a vysokých stromů leží převážně pod nulou, středních nad nulou.

  • Model je v pořádku, protože residua jsou v průměru nulová.
  • Stromy jednoho druhu jsou si podobnější než stromy různých druhů.
  • Některé stromy jsou chybně změřené a je potřeba je vyřadit.
  • Přímky nezachycují tvar vztahu: krajní stromy model přeceňuje, střední podceňuje.

Správná odpověď: Přímky nezachycují tvar vztahu: krajní stromy model přeceňuje, střední podceňuje.

Residua pod nulou = model výšku přeceňuje. Oblouk ukazuje zakřivený vztah, který přímky nezachytí.

Výsledky učení

Po lekci dokážete:

  • popsat tvar rozdělení proměnné nebo residuí z histogramu a Q–Q grafu a posoudit, zda je pro lineární model podstatný;
  • rozlišit transformace, které mění jen měřítko (jednotky, centrování, z-skóre), od těch, které mění tvar (logaritmus, odmocnina);
  • rozpoznat zakřivený vztah v datech a navrhnout jednoduché řešení;
  • porovnat několik biologicky smysluplných tvarů vztahu jako kandidátní modely;
  • vysvětlit, jak transformace mění interpretaci koeficientů.

Tvar rozdělení

Jeden řádek tabulky představuje jeden ostrov

Želva botanička a pěnkava počítají druhy rostlin na malém skalnatém ostrůvku; v pozadí leží velký sopečný ostrov s pestrou vegetací.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

U každého ostrova Galapág známe

  • počet druhů cévnatých rostlin;
  • plochu ostrova (km²);
  • nejvyšší bod (m n. m.);
  • počet endemitů a vzdálenosti k sousedním ostrovům.


Botanici druhy spočítali na ostrovech od skalek po obří sopky.

Data: M. P. Johnson & P. H. Raven (1973), Science 179: 893–895 · balíček faraway 1.0.9 (galamiss) · GPL

Co v tabulce chybí a co je neobvyklé?

data_ostrovy <- read.csv(
  file = here::here("data", "druhy_galapagy.csv")
)

colSums(x = is.na(data_ostrovy))
                  ostrov              pocet_druhu           pocet_endemitu 
                       0                        0                        0 
              plocha_km2           nejvyssi_bod_m  vzdalenost_nejblizsi_km 
                       0                        6                        0 
vzdalenost_santa_cruz_km    plocha_sousedniho_km2 
                       0                        0 
range(x = data_ostrovy$plocha_km2)
[1]    0.01 4669.32


Které hodnoty by nám mohly dělat potíže?

30 ostrovů

  • nejvyšší bod chybí u 6 ostrovů;
  • plocha od 0,01 do 4 669 km² (Isabela);
  • skutečné nuly: vzdálenost ostrova Santa Cruz k sobě samému, Daphne Minor bez endemitů.

Jak vypadají počty druhů a plochy ostrovů?

Dva histogramy. Vlevo počet druhů: většina ostrovů má méně než sto druhů, několik má stovky. Vpravo plocha: téměř všechny ostrovy leží v prvním koši u nuly, několik má stovky až tisíce km².

Ve dvojici: Kde leží většina ostrovů? Co s každým obrázkem dělá několik největších ostrovů?

Dlouhý ocas vpravo táhne průměr od mediánu

Stejné dva histogramy s oranžovou čarou průměru a přerušovanou grafitovou čarou mediánu. U obou proměnných leží průměr výrazně vpravo od mediánu, směrem k dlouhému ocasu.

Druhy: průměr 85,2 · medián 42

Plocha (km²): průměr 261,7 · medián 2,59

Rozdělení s dlouhým ocasem vpravo je pravostranně šikmé (right-skewed).

Které slovo patří ke kterému tvaru?

Pět simulovaných histogramů označených 1 až 5. Panel 1 má dva oddělené vrcholy. Panel 2 má vrchol vlevo a dlouhý ocas vpravo. Panel 3 je souměrný zvon. Panel 4 je úzký souměrný vrchol s ojedinělými vzdálenými hodnotami na obou stranách. Panel 5 má vrchol vpravo a dlouhý ocas vlevo.

souměrné · pravostranně šikmé · levostranně šikmé · těžké konce · dva vrcholy

Ve dvojici: Přiřaďte každému panelu jedno slovo.

1 dva vrcholy · 2 pravostranně šikmé · 3 souměrné · 4 těžké konce · 5 levostranně šikmé

Proč je tolik biologických veličin pravostranně šikmých?

Plocha ostrova ani počet druhů nemohou klesnout pod nulu. Jak velké ale mohou být? A co se stane, když populace roste o procenta, ne o stejný počet jedinců?

Dva histogramy simulovaných velikostí tisíce populací po dvaceti krocích. Vlevo, kde se přírůstky přičítají, vzniká souměrný zvon kolem počáteční velikosti. Vpravo, kde se velikost násobí, má rozdělení vrchol vlevo a dlouhý ocas vpravo.

Hranice v nule a růst násobením vytvářejí dlouhý ocas vpravo — vlastnost biologie, ne chyba dat.

Kolik hodnot leží do jedné směrodatné odchylky od průměru?

Souměrná zvonovitá křivka. Oranžové pásmo kolem průměru sahá od průměru minus jedna SD do průměru plus jedna SD, šedé pásmo od jedné do dvou SD, okraje za dvěma SD jsou světlé.


Jaká část hodnot leží v oranžovém pásmu?

A · asi polovina

B · asi dvě třetiny

C · asi 95 %

Takový zvon je normální rozdělení (normal distribution): do 1 SD leží asi 68 %, do 2 SD asi 95 % a do 3 SD asi 99,7 % hodnot.

Platí pravidlo 68 % i pro plochy ostrovů?

Histogram plochy ostrovů s oranžovým pásem od průměru minus jedna SD do průměru plus jedna SD. Levý okraj pásu leží v záporných hodnotách plochy.


Ve dvojici: Pás ukazuje průměr ± 1 SD plochy. Co je na něm divné?

Průměr − SD = -602 km²: záporná plocha.

V pásu leží 97 % ostrovů, ne asi 68 %.

Normální rozdělení je vzor pro srovnání, ne vlastnost, kterou musí mít biologická data.

Jak se dlouhý ocas pozná v Q–Q grafu?

Nahoře pět histogramů 1 až 5 z galerie tvarů. Dole pět Q–Q grafů a až e v jiném pořadí: oblouk zvednutý vpravo, schod, propad vlevo dole, body na přímce a odklon na obou koncích opačnými směry.

Stejné histogramy a Q–Q grafy propojené oranžovými čarami: histogram 1 s Q–Q grafem b, 2 s a, 3 s d, 4 s e a 5 s c.

Ve dvojici: Který Q–Q graf a–e patří ke kterému histogramu 1–5?

Nápověda: dlouhý ocas vpravo zvedá body vpravo nad přímku.

Sedí na ostrovy přímka?

Jak počet druhů popíše přímka?


mod_primka <- lm(
  formula = pocet_druhu ~ plocha_km2,
  data = data_ostrovy
)

coef(object = mod_primka)
(Intercept)  plocha_km2 
63.78286147  0.08196317

Bodový graf počtu druhů proti ploše ostrova s fialovou přímkou. Většina ostrovů je namačkaná u počátku os, jeden velký ostrov leží úplně vpravo pod přímkou.

Stejný graf; ostrov Isabela úplně vpravo je zvýrazněný oranžově a popsaný.

Kde leží většina ostrovů? Který ostrov o sklonu přímky rozhoduje nejvíc?

Z čeho se skládá počet druhů jednoho ostrova?

Ostrovy s fialovou přímkou. Jeden ostrov je zvýrazněný oranžově a svislá oranžová úsečka spojuje přímku s jeho skutečným počtem druhů nad ní.


Santa Cruz: 444 druhů

= odhad přímky 138

+ residuum 306

Každý ostrov = přímka + residuum.

Jak by vypadala residua, kdyby přímka seděla?

Ve dvojici: Kdyby přímka zachytila všechno systematické, co by v residuích zbylo? Načrtněte jejich histogram.

Histogram simulovaných residuí dobře padnoucí přímky: souměrný zvon kolem nuly, přes který je položena křivka normálního rozdělení.

Jen náhodné odchylky: souměrný zvon kolem nuly. Takový tvar residuí lineární model předpokládá: přibližně normální rozdělení residuí.

Co ukazují residua přímky?

Tři diagnostické grafy přímky. Residua proti odhadnutým hodnotám jsou nahuštěná vlevo a jejich rozptyl roste doprava. Histogram residuí má dlouhý ocas vpravo. Q–Q graf se vpravo nahoře prudce zvedá nad přímku.

Ve dvojici: Porovnejte se zvonem z minulého snímku. Najděte alespoň dva vzory, které by u dobře padnoucí přímky neměly být vidět.

Residua tvoří ohyb · jejich rozptyl roste doprava · histogram i Q–Q graf ukazují dlouhý ocas vpravo.

Co musí mít u lineárního modelu přibližně normální rozdělení?

A

odezva (počet druhů)

B

prediktor (plocha ostrova)

C

residua modelu

D

odezva i prediktor zároveň

Přesvědčte souseda, proč jste vybrali svoji možnost.

Správně je C: model = přímka + náhodné odchylky kolem ní. Předpoklad se týká odchylek, tedy residuí. Šikmá odezva ani šikmý prediktor samy o sobě nevadí.

Jak jeden velký ostrov ovlivní celou přímku?

Cookovy vzdálenosti ostrovů v modelu přímky ve dvou panelech. Vlevo všechny ostrovy: Isabela má vzdálenost mnohonásobně vyšší než ostatní, které splývají s nulou. Vpravo stejné ostrovy bez Isabely na přiblížené ose: jejich vzdálenosti jsou nejvýš několik desetin.

Cookova vzdálenost: jak moc se přímka změní, když ostrov vynecháme.

Isabela: 113,3 · druhý nejvyšší, Santa Cruz: 0,32

Šikmý prediktor

předpoklad modelu neporušuje — o rozdělení prediktoru model nic netvrdí.

Přesto praktický problém

jeden ostrov natáčí celou přímku jako dlouhá páka.

Co už o ostrovech víme?

Jak rychle roste počet druhů rostlin s plochou ostrova?

Už umíme říct

  • počet druhů i plocha jsou pravostranně šikmé;
  • přímka míjí většinu malých ostrovů;
  • residua se ohýbají, rozšiřují a mají dlouhý ocas;
  • přímku natáčí jediný ostrov.

Zatím nevíme

  • Jak popsat ostrovy od 0,01 do 4 669 km² jedním modelem?
  • Pomůže, když proměnné nějak upravíme? A jakou úpravou?

Transformace: měřítko, nebo tvar?

Změní se tvar rozdělení, když plochu převedeme na hektary?


data_ostrovy$plocha_ha <-
  data_ostrovy$plocha_km2 * 100


Jeden km² má 100 hektarů.

Dva histogramy plochy ostrovů se zcela stejným tvarem. Liší se jen čísla na vodorovné ose, která jsou vpravo stokrát větší.

mění jen měřítko — pořadí ostrovů i poměry vzdáleností mezi nimi zůstávají.

Co se změní, když od plochy odečteme průměr?

data_ostrovy$plocha_centrovana <-
  data_ostrovy$plocha_km2 -
  mean(x = data_ostrovy$plocha_km2)

mod_centrovany <- lm(
  formula = pocet_druhu ~ plocha_centrovana,
  data = data_ostrovy
)

coef(object = mod_primka)
(Intercept)  plocha_km2 
63.78286147  0.08196317 
coef(object = mod_centrovany)
      (Intercept) plocha_centrovana 
      85.23333333        0.08196317

Dva bodové grafy se stejnými body a stejnou fialovou přímkou. Vlevo leží nula vodorovné osy u nejmenších ostrovů, vpravo uprostřed v průměrné ploše. Fialový kosočtverec označuje intercept, tedy výšku přímky v nule; vpravo leží výš.

Ve dvojici: Co znamená intercept po centrování?

Sklon se nezměnil (0,082). Intercept 63,8 → 85,2: odhad druhů pro ostrov průměrné plochy, ne pro neexistující ostrov s nulovou plochou. · mění jen měřítko

Jak daleko od průměru leží Fernandina?

Nejvyšší bod Fernandiny 1 494 m · průměr 424,5 m · SD 453,0 m

Spočítejte: o kolik směrodatných odchylek leží Fernandina nad průměrem?

\[ \text{z-skóre} = \frac{\text{hodnota} - \text{průměr}}{\text{SD}} = \frac{1 494 - 424{,}5}{453{,}0} = 2{,}36 \]

data_ostrovy$vyska_z <- as.numeric(
  x = scale(x = data_ostrovy$nejvyssi_bod_m)
)


Tomu se říká z-skóre (z-score). Z-skóre celé proměnné mají průměr 0 a SD 1; kladné znamená nad průměrem.

Je Fernandina výjimečnější plochou, nebo výškou?

z-skóre plochy: 0,43 · z-skóre výšky: 2,36

A · výjimečnější výškou

B · výjimečnější plochou

C · v obou

Z-skóre ukazují na A. Pořadí mezi ostrovy ale říká: plochou 3. největší, výškou 2. nejvyšší — výjimečná je v obou ohledech.

Z-skóre u šikmé veličiny klame. Obrovská Isabela nafoukla SD plochy, takže i 3. největší ostrov vypadá skoro průměrně.

Odstraní z-skóre šikmost?

Plocha ostrovů je extrémně pravostranně šikmá. Bude histogram z-skóre plochy souměrnější?

A · ano

B · trochu

C · ne

Dva histogramy se stejným extrémně pravostranně šikmým tvarem. Vlevo je osa v km², vpravo v jednotkách směrodatné odchylky kolem nuly.

Jednotky, centrování i z-skóre jsou lineární transformace: násobí a posouvají o stejné číslo. Tvar nezmění.

Jak logaritmus převádí násobky na stejné kroky?

Plocha (km²) log(plocha)
1 0,000
2 0,693
4 1,386
8 2,079
16 ? 2,773

Odhadněte poslední řádek bez kalkulačky.

Každé zdvojnásobení přidá stejný krok 0,693. Logaritmus převádí stejné poměry na stejné rozdíly.

log(x = c(1, 2, 4, 8))
[1] 0.0000000 0.6931472 1.3862944 2.0794415
exp(x = log(x = 8))
[1] 8
log(x = 0)
[1] -Inf

exp() vrátí původní hodnotu. log(0) není konečné číslo: proměnné s nulami logaritmovat nelze.

Které histogramy plochy změní tvar?

Stejnou plochu ostrovů zobrazíme ve čtyřech měřítkách. Které histogramy budou vypadat jinak než histogram v km²?

km²

plocha_km2

z-skóre

scale(plocha_km2)

odmocnina

sqrt(plocha_km2)

logaritmus

log(plocha_km2)

Hlasujte pro každou kartu zvlášť: změní tvar, nebo ne?

Stejné ostrovy ve čtyřech měřítkách

Čtyři histogramy plochy ostrovů. Plocha v km² a z-skóre plochy mají stejný extrémně pravostranně šikmý tvar. Odmocnina plochy je stále pravostranně šikmá, ale méně. Logaritmus plochy je přibližně souměrný.
  • z-skóre: stejný tvar jako km²;
  • odmocnina: šikmost zmírní, ale neodstraní;
  • logaritmus: z extrémně šikmé plochy udělá přibližně souměrné rozdělení. Takové veličině říkáme log-normální.

Které transformace mění jen měřítko a které i tvar?

Transformace V R Mění Kdy se hodí
jednotky x * 100 měřítko různé zdroje dat
centrování x - mean(x) měřítko smysluplný intercept
z-skóre scale(x) měřítko různé jednotky
odmocnina sqrt(x) tvar mírně šikmé počty
logaritmus log(x) tvar násobné změny

Želva si prohlíží hliněnou figurku leguána s velmi dlouhým ocasem přes lupu, takže je větší, ale stejného tvaru; pěnkava vedle hlínu přemodelovává, aby ocas byl kratší.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Dlouhý ocas zkrátí jen transformace, která mění tvar.

Kde transformace v biologii pomáhají?

Logaritmus · koncentrace

Zkumavky s roztoky hormonu, jejichž koncentrace se liší o několik řádů.

Hormony nebo toxiny se mezi vzorky liší o řády.

Logaritmus · populace

Populace mšic na listu roste z několika jedinců na celou kolonii.

Populace rostou o procenta, ne o stejný počet.

Logaritmus · velikost těla

Myš, kočka a slon vedle sebe ukazují obrovský rozsah hmotností savců.

Hmotnosti savců od myši po slona se liší o řády.

Odmocnina · počty s nulami

Zemní pasti s různým počtem brouků, některé prázdné.

Hmyz v pastech: mírná šikmost a prázdné pasti.

z-skóre · gradient prostředí

Lokality na svahu hory s teploměrem, dešťovým mrakem a výškovou značkou.

Teplota, srážky a výška v různých jednotkách.

Centrování · trend v čase

Ornitolog počítá ptáky na stejném místě v řadě let.

Intercept pro první rok sledování, ne pro rok 0.

Ilustrace vytvořené pomocí AI.

Stejní savci v kilogramech a po logaritmu

Dva histogramy tělesné hmotnosti savců. V kilogramech jsou téměř všechny druhy v prvním koši a několik obřích druhů tvoří dlouhý ocas vpravo. Po logaritmu jsou druhy rozložené přibližně souměrně.

Ve dvojici: V první lekci krabicový graf označil 11 druhů jako možná odlehlé. Kolik jich bude po logaritmu?

Po logaritmu 0. Největší savci leželi jen v dlouhém ocasu šikmého rozdělení — co je odlehlé, záleží na škále.

Data: ggplot2::msleep (83 druhů savců), stejná jako v první lekci

Tvar vztahu

Jak vypadá vztah plochy a počtu druhů na logaritmických osách?

Logaritmus z šikmé plochy udělal souměrné rozdělení. Co udělá s ohybem ve vztahu plochy a počtu druhů?

Dva bodové grafy stejných ostrovů. Vlevo na původních osách je většina bodů namačkaná u počátku a vztah je zakřivený. Vpravo po logaritmování obou proměnných jsou body rozprostřené po celém grafu a leží přibližně podél přímky.

Ve dvojici: Stejný krok na logaritmické ose = stejný násobek. Co by přímka na pravých osách znamenala pro ostrovy?

Jaké tvary vztahu dávají biologický smysl?

Ve dvojici: Které tvrzení zní nejméně věrohodně pro ostrov o 0,01 km² i pro ostrov o 4 669 km²?

A · Přímka

Každý další km² přidá stejný počet druhů.

pocet_druhu ~ plocha_km2

B · Logaritmus plochy

Každé zdvojnásobení plochy přidá stejný počet druhů.

pocet_druhu ~ log(plocha_km2)

C · Mocninný vztah

Každé zdvojnásobení plochy vynásobí počet druhů stejným číslem.

log(pocet_druhu) ~ log(plocha_km2) · power law

D · Kvadratický člen

Počet druhů roste stále pomaleji, případně se pak obrátí.

pocet_druhu ~ plocha_km2 + I(plocha_km2^2)

E · Logaritmus odezvy

Každý další km² zvýší počet druhů o stejné procento.

log(pocet_druhu) ~ plocha_km2


Sadu kandidátů určíme předem — z biologie, ne z výsledků.

Všech pět kandidátů odhadne funkce lm()

mod_a_primka <- lm(
  formula = pocet_druhu ~ plocha_km2,
  data = data_ostrovy
)

mod_b_log_plochy <- lm(
  formula = pocet_druhu ~ log(plocha_km2),
  data = data_ostrovy
)

mod_c_mocninny <- lm(
  formula = log(pocet_druhu) ~ log(plocha_km2),
  data = data_ostrovy
)
mod_d_kvadraticky <- lm(
  formula = pocet_druhu ~ plocha_km2 +
    I(plocha_km2^2),
  data = data_ostrovy
)

mod_e_log_odezvy <- lm(
  formula = log(pocet_druhu) ~ plocha_km2,
  data = data_ostrovy
)


I() říká R: spočítej plocha_km2^2 jako obyčejnou druhou mocninu.

„Lineární“ model znamená lineární v koeficientech, ne nutně přímku v grafu.

Počet druhů je počet. Modely, které s počty pracují přímo, poznáme v jedné z dalších lekcí.

Jak se kandidátní křivky shodují s ostrovy?

Pět panelů se stejnými šedými ostrovy a fialovou křivkou kandidáta. Přímka A vede nad většinou malých ostrovů. Křivky B a C rostou rychle u malých ostrovů a pak zpomalují. Parabola D vystoupá a před největším ostrovem začne klesat. Exponenciála E je téměř plochá a na konci prudce stoupá.

Ve dvojici: Která křivka tvrdí o ostrovech něco, co by biolog nepřijal?

Proč by měl větší ostrov mít méně druhů?

Ostrovy na původních osách s fialovou parabolou kandidáta D. Svislá přerušovaná čára označuje vrchol paraboly; za ním křivka klesá. Isabela je zvýrazněná oranžově vpravo za vrcholem.

Kamenný most stoupá přes řadu stále větších ostrovů, ale nad tím největším a nejzelenějším začne klesat; želva na vrcholu mostu se nechápavě dívá dolů.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Za vrcholem leží jen Isabela — s Cookovou vzdáleností 142.

Parabola se musí obrátit. K Isabele se ohýbá jen proto, že ji Isabela táhne.

Je mocninný vztah C podle AIC mnohem lepší než kvadratický člen D?

D · odezva pocet_druhu · AIC 334,5

C · odezva log(pocet_druhu) · AIC 74,5

A

Ano, AIC modelu C je o 260 nižší, takže C popisuje ostrovy mnohem lépe.

B

Ne, každý z modelů předpovídá jinou odezvu, takže jejich AIC porovnat nelze.

C

Ano, protože mocninný vztah má méně koeficientů, a proto nižší AIC.

D

Ne, protože AIC nelze porovnat mezi žádnými dvěma modely, ani se stejnou odezvou.

Přesvědčte souseda, proč jste vybrali svoji možnost.

Pravidlo z minulé lekce: AIC porovnáváme jen u modelů se stejnou odezvou na stejných pozorováních. Logaritmus stlačí velké hodnoty, takže residua C jsou čísla v úplně jiném měřítku.

Které modely smíme porovnat pomocí AIC?

Odezva: počet druhů

Kandidát AIC
A · Přímka 360,2
B · Logaritmus plochy 345,9
D · Kvadratický člen 334,5

Odezva: logaritmus počtu druhů

Kandidát AIC
E · Logaritmus odezvy 110,8
C · Mocninný vztah 74,5

Mezi modely pro počet druhů má nejnižší AIC kvadratický člen D — křivka, kterou jsme odmítli kvůli jejímu tvaru. Nejnižší AIC neznamená biologicky obhajitelný model; rozhoduje i biologie a residua.

A co R²? Ani to tabulky nespojí: R² modelu D je podíl variability počtu druhů, R² modelu C podíl variability jeho logaritmu. Napříč škálami porovnáváme křivky na původních osách a vzory v residuích (ne jejich velikost).

Pomohl logaritmus také residuím?

Tři diagnostické grafy mocninného vztahu. Residua tvoří přibližně stejně široký vodorovný pás kolem nuly, histogram je přibližně souměrný a body Q–Q grafu leží blízko přímky.

Ve dvojici: Co se změnilo proti residuím přímky?

Pás bez ohybu i rostoucího rozptylu · Q–Q graf blízko přímky · největší Cookova vzdálenost 0,14 místo 113,3. S 30 ostrovy čteme opatrně, ale všechny grafy ukazují stejným směrem.

Může být odezva šikmá, a residua přesto v pořádku?

Histogram počtu druhů s dlouhým ocasem vpravo.

Odezva má dlouhý ocas vpravo.

Q–Q graf residuí kandidáta B; body leží blízko přerušované přímky.

Residua B leží blízko přímky.

Šikmost odezvy z velké části vysvětlil šikmý prediktor. Předpoklad se týká residuí, ne samotné odezvy.

Interpretace po transformaci

Kolikrát víc druhů má dvakrát větší ostrov?

Člen Odhad 95% interval
intercept 2,904 2,58 až 3,23
log(plocha) 0,389 0,30 až 0,47

log(pocet_druhu) ~ log(plocha_km2)

\[ \text{násobek druhů} = \text{násobek plochy}^{\,\text{sklon}} \]

\[ 2^{\,0{,}389} = 1{,}31 \]

Dvakrát větší ostrov má typicky asi 1,31krát víc druhů — ne dvakrát.

Ve dvojici: Kolikrát víc druhů má podle modelu desetkrát větší ostrov?

Desetkrát větší ostrov má asi 2,45krát víc druhů

Ostrovy na původních osách s fialovou křivkou mocninného vztahu, která roste rychle u malých ostrovů a u velkých zpomaluje. Fialové body označují typický počet druhů pro plochy 1, 10, 100 a 1000 km².


\[ 10^{\,0{,}389} = 2{,}45 \]

95% interval: 2,01 až 2,98krát


Porovnejte se svým odhadem ze začátku přednášky.

Zpětný převod exp() dává typický ostrov dané plochy (blízko mediánu), ne průměrný.

Jak číst koeficient, když logaritmujeme jen jednu stranu?

Ve dvojici: Přiřaďte každé větě kandidáta B, D, nebo E.

1 · Každé zdvojnásobení plochy přidá asi 17,8 druhu.

→ B · pocet_druhu ~ log(plocha_km2)

2 · Jak rychle počet druhů roste, se mění podél křivky.

→ D · kvadratický člen: čteme předpovědi, ne jednotlivé koeficienty

3 · Každých 100 km² zvýší počet druhů asi o 8 %.

→ E · log(pocet_druhu) ~ plocha_km2

Logaritmus prediktoru → přírůstek na zdvojnásobení · logaritmus odezvy → procento na jednotku · oba → násobek

Zmizí oblouk v residuích stromů po logaritmu průměru kmene?

Výška roste s průměrem kmene stále pomaleji. Co udělá s obloukem z minulé lekce logaritmus průměru kmene?

Dva grafy residuí modelů výšky stromů s oranžovou vyhlazenou křivkou. Vlevo s průměrem kmene tvoří křivka zřetelný oblouk. Vpravo s logaritmem průměru je křivka plošší; u stromů s odhadnutou výškou zhruba 10 až 20 m zůstává pod nulou, pro vyšší stromy leží u nuly.

Oblouk se zploštil, ale nezmizel: stromy s odhadnutou výškou kolem 10–20 m model stále přeceňuje. AIC 395 → 351 — porovnat smíme, odezva je stejná.

Závěr

Odpovězte na úvodní otázku dvěma větami

Co o ostrovech víme

  • 30 ostrovů jednoho souostroví; odezva je počet druhů
  • na logaritmických osách leží ostrovy podél přímky
  • mocninný vztah: sklon 0,39 (95% interval 0,30 až 0,47)
  • dvojnásobná plocha → 1,31× druhů; desetinásobná → 2,45×
  • residua mocninného vztahu bez vzoru; přímka a parabola neobstály


40 s sami · ve dvojici porovnejte

„Počet druhů roste s plochou ostrova ____, protože ____.“

„Omezením tohoto závěru je ____.“

Použijte aspoň jedno číslo s interpretací a jedno omezení.

Jak rychle roste počet druhů s plochou ostrova?

Podle mocninného vztahu s exponentem asi 0,39 (95% interval 0,30 až 0,47): dvakrát větší ostrov má typicky asi 1,31krát více druhů, desetkrát větší asi 2,45krát více.

Opora

  • biologicky zdůvodněný tvar vztahu;
  • přímka na logaritmických osách;
  • residua bez systematického vzoru.

Omezení

  • jen 30 ostrovů;
  • odezva je počet — modely pro počty poznáme v jedné z dalších lekcí;
  • ostrovy jednoho souostroví nemusí být nezávislé.

Kdy transformaci použít a kdy ne?

  1. Položte biologickou otázku a prohlédněte tvar rozdělení.
  2. Odhadněte nejjednodušší model a zkontrolujte residua.
  3. Ptejte se, jaký tvar vztahu předpovídá biologie.
  4. Převeďte tvrzení na kandidátní formule s log() nebo I(x^2).
  5. Porovnejte je na původní škále, residui a AIC se stejnou odezvou.
  6. Interpretujte v původních jednotkách: násobky, zdvojnásobení, procenta.


Transformace není rituál. Volíme ji kvůli biologickému tvrzení o vztahu, ne jen proto, aby residua „vypadala normálně“.

Co si odnést

  • Mnoho biologických veličin je pravostranně šikmých: hranice v nule a růst násobením.
  • Lineární model předpokládá přibližně normální residua, ne odezvu nebo prediktor.
  • Jednotky, centrování a z-skóre mění jen měřítko; logaritmus a odmocnina mění tvar.
  • Logaritmus převádí násobky na stejné kroky, a proto z mocninného vztahu udělá přímku.
  • AIC porovnáváme jen při stejné odezvě; koeficienty po transformaci čteme jako násobky nebo přírůstky.

Data: M. P. Johnson & P. H. Raven (1973) · faraway::galamiss · GPL; stromy: lgrdata::allometry · CC0

Jsou ostrovy jednoho souostroví nezávislá pozorování?

Ptáci a mořské proudy přenášejí semena mezi sousedními ostrovy souostroví; želva botanička je pozoruje ze břehu.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Sousední ostrovy si vyměňují semena, sdílejí podnebí i historii osídlení.

Dává 30 ostrovů opravdu 30 nezávislých kousků informace?