Liší se vztah délky a zadní šířky krunýře mezi samicemi a samci?

Logo kurzu Biostatistika BIOSTATISTIKA

L08

Interakce prediktorů

cuni-natur-biostatistics.github.io/materialy.html

Dva modří krabi u posuvného měřítka mezi skalami a přílivovými tůněmi; za nimi vede pobřežím zelená a růžovofialová stopa ke dvěma oranžovým krabům. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Co vlastně na krabovi měříme?

Modří pobřežní krabi u měření na skalnatém pobřeží; velké posuvné měřítko obepíná krunýř kraba uprostřed a menší měřítko měří kraba vpravo.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Délka krunýře a zadní šířka krunýře jsou dvě měření téhož kraba.

Co si pamatujete z minulé lekce?

Odpovězte samostatně na tři krátké otázky. Na telefonu neuvidíte odpovědi ostatních; společné výsledky otevřeme až po hlasování.

QR kód otevírající anonymní dotazník PollsLive se třemi otázkami.

Otevřít dotazník v novém okně

Jak odpovídala skupina?

Otevřít výsledky mimo prezentaci

Co znamená záporný koeficient roční teploty v modelu s roční i maximální teplotou?

Schéma modelu se dvěma teplotami zvýrazňuje koeficient roční teploty a podmínku stejné maximální teploty.

  • Celkovou změnu tloušťky listu při zvýšení obou teplot o 1 °C.
  • Rozdíl průměrné roční teploty mezi původními a zavlečenými populacemi.
  • Vztah roční teploty k tloušťce listu bez ohledu na maximální teplotu.
  • Změnu odhadované tloušťky listu při zvýšení roční teploty o 1 °C, když maximální teplotu držíme stejnou.

Správná odpověď: Změnu odhadované tloušťky listu při zvýšení roční teploty o 1 °C, když maximální teplotu držíme stejnou.

V modelu s více prediktory čteme každý sklon při stejné hodnotě ostatních prediktorů. Koeficient proto není totožný s jednoduchým jednoprediktorovým sklonem.

Kterému odhadu z modelu se dvěma teplotami bychom měli více důvěřovat?

Bodový graf roční a maximální teploty ukazuje jednu kombinaci uvnitř pozorovaného mraku a druhou mimo něj.

  • Odhadu pro kombinaci roční a maximální teploty, která leží uvnitř pozorovaného mraku bodů.
  • Odhadu pro libovolnou kombinaci uvnitř rozsahu každé teploty, i když se tato dvojice v datech nevyskytuje.
  • Odhadu pro kombinaci nejnižší roční a nejvyšší maximální teploty, protože využívá oba extrémy.
  • Všem odhadům stejně, protože lineární model umí spočítat každou číselnou kombinaci.

Správná odpověď: Odhadu pro kombinaci roční a maximální teploty, která leží uvnitř pozorovaného mraku bodů.

Model výpočet provede i mimo společně pozorované kombinace, ale takový odhad je extrapolace. Opora je silnější uvnitř mraku skutečných kombinací prediktorů.

Prohodíme pořadí dvou korelovaných teplot ve formuli. Co se může změnit?

Dvě pořadí stejných prediktorů mají shodné koeficienty, zatímco zvýrazněné řádky sekvenční tabulky anova se liší.

  • Koeficienty modelu i jeho předpovědi.
  • Koeficienty se nezmění, ale sekvenční tabulka z anova() může přidělit sdílenou informaci jinak.
  • Pouze počet pozorování v modelu.
  • Nic; koeficienty, předpovědi i každý řádek sekvenční anova() musí zůstat stejné.

Správná odpověď: Koeficienty se nezmění, ale sekvenční tabulka z anova() může přidělit sdílenou informaci jinak.

Pořadí prediktorů nemění fit ani koeficienty stejného modelu. Sekvenční anova() však testuje členy v pořadí ve formuli, takže u korelovaných prediktorů se její řádky mohou změnit.

Výsledky učení

Po absolvování této přednášky budete schopni:

  • rozpoznat biologickou otázku, ve které vztah jednoho prediktoru k odezvě závisí na druhém prediktoru;
  • fitovat model s interakcí a zobrazit jeho předpovědi pro kombinace číselných i skupinových prediktorů;
  • vyložit koeficienty modelu s interakcí jako podmíněné a porovnávat skupiny nebo různé hodnoty prediktoru pomocí předpovědí;
  • vysvětlit interakci dvou skupinových prediktorů jako rozdíl dvou rozdílů;
  • omezit závěr na pozorovaný rozsah dat a na souvislost v pozorovacích datech.

Platí rovnoběžné přímky i pro kraby?

Proč by se samice a samci mohli lišit tvarem krunýře?

Co víme o krabech

  • Zadní část krunýře leží zhruba nad zadečkem.
  • Samice pod zadečkem nosí vajíčka.
  • Samice a samci se liší poměrem zadní šířky a délky krunýře.


Bude rozdíl v zadní šířce mezi stejně dlouhou samicí a samcem stejný u malých i velkých krabů?

Campbell a Mahon (1974), Australian Journal of Zoology 22: 417–425.

Jeden bod představuje jednoho kraba

data_krabi_vse <-
  read.csv(file = "data/krabi.csv")

# Modrá forma, pohlaví, délka a zadní šířka
data_krabi <-
  data_krabi_vse[
    data_krabi_vse$sp == "B",
    c("sex", "CL", "RW")
  ]
names(data_krabi) <-
  c("pohlavi", "delka_krunyre_mm",
    "zadni_sirka_mm")
data_krabi$pohlavi <-
  factor(
    x = data_krabi$pohlavi,
    levels = c("F", "M"),
    labels = c("samice", "samec")
  )
head(x = data_krabi, n = 3)
  pohlavi delka_krunyre_mm zadni_sirka_mm
1   samec             16.1            6.7
2   samec             18.1            7.7
3   samec             19.0            7.8


100 krabů

  • 🔵 modrá barevná forma
  • 50 samic · 50 samců
  • délka krunýře v mm
  • zadní šířka v mm

Campbell a Mahon (1974) · data/krabi.csv

Co naznačují měření krabů?

Body krabů ukazují rostoucí vztah délky a zadní šířky u obou pohlaví; samice jsou zelené kruhy, samci růžovofialové trojúhelníky.
  1. Jaký je směr vztahu?
  2. Kde se skupiny překrývají?
  3. Vypadají oba sklony stejně?

Aditivní model kreslí rovnoběžné přímky

mod_rovnobezne <-
  lm(
    formula = zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm + pohlavi,
    data = data_krabi
  )
Body krabů a dvě rovnoběžné přímky aditivního modelu; přímka samic leží nad přímkou samců.

+ dovoluje posun mezi skupinami, ale ukládá jim společný sklon.

Zůstává rozdíl mezi pohlavími při každé délce stejný?

Dvě rovnoběžné modelové přímky mají v celém rozsahu stejnou svislou vzdálenost.


Ve dvojici

Porovnejte svislou vzdálenost přímek u kratších a delších krabů.

Sedí přímky k bodům i na koncích rozsahu?

Data naznačují různé sklony

Samostatné přímky vedené body samic a samců mají rozdílné sklony; přímka samic stoupá strměji.

Svislá vzdálenost mezi přímkami se s délkou mění.

Když se rozdíl mění, mluvíme o interakci

Aditivní model

Rozdíl mezi pohlavími je při každé délce stejný.

Rovnoběžné přímky

Model s interakcí

Rozdíl mezi pohlavími se mění s délkou.

Různé sklony


Interakce: vztah délky a zadní šířky závisí na pohlaví.

Jak zapsat model s interakcí?


  1. zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm + pohlavi
  2. zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm + pohlavi + delka_krunyre_mm:pohlavi
  3. zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm * pohlavi


x * y je zkratka pro x + y + x:y; dvojtečka označuje interakční člen.

Model s interakcí dovoluje dvěma pohlavím různé sklony

mod_interakce <-
  lm(
    formula = zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm * pohlavi,
    data = data_krabi
  )
Body krabů a dvě nerovnoběžné přímky modelu s interakcí; přímka samic stoupá strměji než přímka samců.

Každou přímku kreslíme jen přes délky zastoupené v její skupině.

Co model odhaduje pro dva stejně dlouhé kraby?

# Společná délka uvnitř rozsahu obou pohlaví
delka_porovnani_mm <- 30
Interakční přímky nad body krabů a svislá přerušovaná čára při zvolené délce krunýře.

Která přímka je při 30 mm výše? O kolik přibližně?

Dva odhady při stejné délce krunýře


data_porovnani <-
  data.frame(
    delka_krunyre_mm = rep(x = delka_porovnani_mm, times = 2),
    pohlavi = c("samice", "samec")
  )

data_porovnani$odhad_sirky_mm <-
  predict(
    object = mod_interakce,
    newdata = data_porovnani
  )

data_porovnani
  delka_krunyre_mm pohlavi odhad_sirky_mm
1               30  samice       12.91000
2               30   samec       11.14947

Samec má při 30 mm užší zadní část krunýře


● Samice

12,91 mm

▲ Samec

11,15 mm

Samec − samice

−1,76 mm

Nerovnoběžné přímky modelu s interakcí; dva zvýrazněné body při zvolené délce leží na přímce samic výše a na přímce samců níže.

Co už můžeme říci o stejně dlouhých krabech?

Co víme

  • Zadní šířka roste s délkou u obou pohlaví.
  • Samci mají pomalejší sklon.
  • Při 30 mm má samec zadní šířku o 1,76 mm menší.

Co ještě nevíme

  • Jak tento výsledek vyjadřují koeficienty modelu?
  • Jak přesně známe rozdíl sklonů?

Koeficienty interakčního modelu

Jaké jsou koeficienty v summary()?

souhrn_interakce <-
  summary(object = mod_interakce)

round(
  x = souhrn_interakce$coefficients,
  digits = 3
)
                              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)                      0.708      0.294   2.409    0.018
delka_krunyre_mm                 0.407      0.010  39.742    0.000
pohlavisamec                     1.973      0.400   4.928    0.000
delka_krunyre_mm:pohlavisamec   -0.124      0.013  -9.450    0.000


Pro výklad nám stačí sloupec Estimate.

První dva koeficienty popisují referenční samice

(Intercept)

0,708 mm

Odhad pro samici při délce 0 mm (hypotetický krab).

delka_krunyre_mm

+0,407 mm/mm

Sklon samičí přímky: samice delší o 1 mm má odhadem širší zadní část.

Koeficient pohlaví porovnává skupiny při délce 0 mm


pohlavisamec = +1,973 mm

Rozdíl samec − samice, když delka_krunyre_mm = 0.

Není to:

  • rozdíl při každé délce;
  • rozdíl při 30 mm;
  • průměrný rozdíl mezi všemi samci a samicemi.

Biologicky smysluplné srovnání získáme z předpovědí uvnitř dat.

Interakční koeficient mění sklon samců vůči samicím


Sklon samic

0,4067 mm/mm

Rozdíl sklonů samec − samice

−0,1245 mm/mm


\[ \text{sklon samců} = \text{0,4067} + (\text{−0,1245}) \approx \text{0,282}\ \text{mm/mm} \]

95% interval spolehlivosti rozdílu sklonů: −0,151 až −0,098 mm/mm

Rozdíl při 30 mm skládají dva známé příspěvky


Rozdíl samec − samice při 30 mm tvoří:

  1. rozdíl mezi pohlavími při délce 0 mm: +1,9731 mm;
  2. 30 mm × změna rozdílu o −0,1245 mm na každý milimetr délky.

\[ \text{rozdíl při } 30\ \text{mm} = \text{1,9731} + 30 \times (\text{−0,1245}) \approx \mathbf{\text{−1,76}\ \text{mm}} \]

Obecně pro délku \(x\), kde \(\beta\) označuje koeficient modelu:

\[ \text{rozdíl}(x)=\beta_{\text{samec}}+x\,\beta_{\text{délka:samec}} \]

Je to stejný rozdíl, který jsme odečetli z předpovědí.

Platí koeficient pohlavisamec při každé délce?


A) Ano, při každé délce.

B) Ne, pouze při délce 0 mm.

C) Ne, pouze při délce 30 mm.


Při jiné délce musíme přidat příspěvek interakčního koeficientu.

Jak dobře přímky popisují změřené kraby?

Residua modelu s interakcí proti odhadnuté zadní šířce; body samic a samců leží nad i pod přerušovanou nulou bez oblouku a s podobným rozptylem.


Residua leží kolem nuly bez oblouku a s podobným rozptylem u malých i velkých krabů.


Graf neověří příčinu ani platnost mimo pozorované délky.

Co víme o rozdílu mezi samicemi a samci modré formy?

Bude rozdíl v zadní šířce mezi stejně dlouhou samicí a samcem stejný u malých i velkých krabů?


Co data ukazují

  • Sklon samic 0,407, samců 0,282 mm/mm.
  • Rozdíl samec − samice se mění o −0,124 mm na 1 mm délky (95% interval spolehlivosti −0,151 až −0,098).
  • Při 30 mm: samec − samice −1,76 mm.

Co zůstává otevřené

  • Proč se pohlaví liší: data jsou pozorovací.
  • Platí to i pro kraby mimo tento vzorek?
  • A pro kraby menší nebo větší, než jsme změřili?

Když jsou oba prediktory skupiny

Liší se rozdíl mezi pohlavími u modré a oranžové formy?

Čtyři krabi mezi skalami: vlevo modrá samice a modrý samec, vpravo oranžová samice a oranžový samec; samice mají zelený odznak se symbolem samice, samci růžovofialový odznak se symbolem samce.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Odezva

Délka krunýře (mm)

Dva skupinové prediktory

Barevná forma · pohlaví

Mění se rozdíl samec − samice mezi barevnými formami?

Do každé skupiny vybrali autoři stejný počet krabů, takže průměrné délky závisejí i na výběru.

Jaké délky vidíme ve čtyřech skupinách?

Jednotlivé body ukazují délku krunýře samic a samců v modré a oranžové formě; délky se ve všech skupinách výrazně překrývají.

Každý bod je jeden krab. Autoři vybrali do každé skupiny 50 krabů.

Je rozdíl mezi samci a samicemi u obou forem stejný?

Stejný graf čtyř skupin bez zobrazených průměrů.


Minuta bez hovoru

Napište pro každou formu:

  • kdo má vyšší průměr;
  • zda čekáte podobně velký rozdíl;
  • jednu větu, kterou z bodů říci nemůžeme.

Průměry ukazují dva různé rozdíly

Stejný graf jednotlivých krabů doplněný o čtyři průměry; u modré formy spojnice stoupá od samic k samcům, u oranžové mírně klesá.

Body, osy i náhodné posunutí jsou stejné. Přibyly pouze průměry a spojnice.

Jak velký je rozdíl samec minus samice v každé formě?

🔵 Modrá forma

\[ \text{32,01} - \text{28,10} = \mathbf{\text{+3,91}\ \text{mm}} \]

🟠 Oranžová forma

\[ \text{33,69} - \text{34,62} = \mathbf{\text{−0,93}\ \text{mm}} \]


U modré formy jsou samci v průměru delší, u oranžové o něco kratší.

Interakce je rozdíl dvou rozdílů

Rozdíl dvou rozdílů \(\Delta\) = rozdíl u 🟠 oranžové formy − rozdíl u 🔵 modré formy

\[ \Delta = (\text{−0,93}) - (\text{+3,91}) = \mathbf{\text{−4,84}\ \text{mm}} \]


Rozdíl mezi pohlavími se při přechodu od modré k oranžové formě změní o −4,84 mm.

forma * pohlavi zapíše všechny čtyři kombinace


forma + pohlavi + forma:pohlavi = forma * pohlavi; referenční kombinace je modrá forma a samice.

mod_formy <-
  lm(
    formula = delka_krunyre_mm ~ forma * pohlavi,
    data = data_formy
  )

round(
  x = summary(object = mod_formy)$coefficients,
  digits = 3
)
                           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)                  28.102      0.950  29.584    0.000
formaoranžová                 6.516      1.343   4.851    0.000
pohlavisamec                  3.912      1.343   2.912    0.004
formaoranžová:pohlavisamec   -4.842      1.900  -2.549    0.012

Který údaj je rozdíl samec − samice v oranžové formě?

Koeficient Odhad (mm)
(Intercept) 28,102
formaoranžová +6,516
pohlavisamec +3,912
formaoranžová:pohlavisamec −4,842

A) pohlavisamec

B) formaoranžová:pohlavisamec

C) pohlavisamec + formaoranžová:pohlavisamec

D) formaoranžová


+3,91 + (−4,84) = −0,93 mm: stejný rozdíl, jaký jsme spočítali z průměrů oranžové formy.

Co znamená každý ze čtyř koeficientů?


(Intercept): 🔵 modrá samice

28,10 mm


formaoranžová: 🟠 oranžová − 🔵 modrá mezi samicemi

+6,52 mm

pohlavisamec: samec − samice v 🔵 modré formě

+3,91 mm


formaoranžová:pohlavisamec: změna rozdílu mezi formami

−4,84 mm


95% interval spolehlivosti interakce: −8,59 až −1,10 mm

Odhad pro každou ze čtyř skupin

prumery_formy <-
  emmeans::emmeans(
    object = mod_formy,
    specs = ~ pohlavi | forma
  )

prumery_formy
forma = modrá:
 pohlavi emmean   SE  df lower.CL upper.CL
 samice    28.1 0.95 196     26.2     30.0
 samec     32.0 0.95 196     30.1     33.9

forma = oranžová:
 pohlavi emmean   SE  df lower.CL upper.CL
 samice    34.6 0.95 196     32.7     36.5
 samec     33.7 0.95 196     31.8     35.6

Confidence level used: 0.95


Model má jeden parametr pro každou kombinaci, proto odhady odpovídají pozorovaným skupinovým průměrům.

Residua jsou odchylky jednotlivých krabů od skupinových průměrů

Houslové grafy residuí s body všech krabů ukazují velkou variabilitu uvnitř všech čtyř skupin kolem nuly.

Residuum = délka kraba − průměr jeho skupiny.

Rozdíl mezi pohlavími závisí na barevné formě

  • 🔵 Modrá forma: samec − samice = +3,91 mm
  • 🟠 Oranžová forma: samec − samice = −0,93 mm
  • Změna rozdílu: −4,84 mm; 95% interval spolehlivosti −8,59 až −1,10 mm


Průměrné délky závisejí i na tom, které kraby autoři vybrali. Výsledek popisuje tento soubor, ne velikost krabů v přírodě.

Když jsou oba prediktory čísla

Přibude vysokému stromu s každým centimetrem průměru víc dřeva?

Střemcha pozdní

  • severoamerický, u nás invazní strom
  • objem dřeva z průměru kmene a výšky
  • 31 pokácených stromů, z amerických jednotek převedeno na cm, m a m³

Ve dvojici

Dva stejně tlusté kmeny ztloustnou o 1 cm. Jeden strom je nízký, druhý vysoký.

Kterému přibude víc dřeva?


Vysokému: nová vrstva dřeva obalí delší kmen.

Meyer (1953), Forest Mensuration · data/stromy.csv

Vystihne společný sklon nízké i vysoké stromy?

mod_aditivni <-
  lm(
    formula = objem_m3 ~ prumer_cm + vyska_m,
    data = data_stromy
  )
Čtyři panely vedle sebe, jeden pro každé výškové pásmo stromů od nejnižšího vlevo po nejvyšší vpravo; v každém je objem dřeva proti průměru kmene a fialová přímka aditivního modelu se stejným sklonem ve všech panelech. V nejnižším pásmu leží tenké kmeny nad přímkou a tlusté pod ní, v nejvyšším pásmu naopak.

Ve dvojici: kde leží tenké a tlusté kmeny v krajních panelech?

Panel = výšková čtvrtina stromů · přímka = model při střední výšce panelu

Mění se sklon přímky s výškou stromu?

Stejné čtyři panely stromů s fialovými přímkami modelu s interakcí a šedou přerušovanou přímkou nejnižšího pásma v každém panelu; od nejnižšího k nejvyššímu pásmu je fialová přímka stále strmější a vzdaluje se od šedé.

Čím vyšší strom, tím strmější přímka.

Šedá přerušovaná = přímka nejnižšího panelu · sklon = m³ na 1 cm průměru

prumer_cm * vyska_m: sklon průměru závisí na výšce

mod_stromy <-
  lm(
    formula = objem_m3 ~ prumer_cm * vyska_m,
    data = data_stromy
  )
round(x = coef(object = mod_stromy), digits = 5)
      (Intercept)         prumer_cm           vyska_m prumer_cm:vyska_m 
          1.96508          -0.06528          -0.12050           0.00493

sklon průměru = prumer_cm + prumer_cm:vyska_m × výška

Výška stromu 21 m 23 m 25 m
Sklon průměru (m³ na 1 cm) 0,038 0,048 0,058

Pro který strom platí koeficient prumer_cm?


prumer_cm = −0,065 m³ na 1 cm

A) Pro každý změřený strom.

B) Jen pro nejnižší stromy v datech.

C) Pro žádný: tlustší kmen má méně dřeva.

D) Jen pro strom vysoký 0 m.


Takový strom v datech není. Sklon průměru proto uvádíme při zvolené výšce uvnitř dat.

Co víme o stromech?

Přibude vysokému stromu s každým centimetrem průměru víc dřeva?


Co data ukazují

  • Kmen 36 cm místo 28 cm podle modelu: +0,31 m³ při 21 m, +0,46 m³ při 25 m.
  • Sklon průměru (m³ na 1 cm) roste o 0,0049 na každý 1 m výšky (95% interval spolehlivosti 0,0031 až 0,0068).

Co zůstává otevřené

  • 31 stromů bez popsaného výběru.
  • Rezidua ani vliv jednotlivých stromů jsme nekontrolovali.
  • Nepopsal by vztah lépe zakřivený model?

Jedna myšlenka, tři obrazy

Interakce mění sklon nebo skupinový rozdíl

Tři panely vedle sebe: vlevo dvě nerovnoběžné přímky pro samice a samce, uprostřed čtyři skupiny krabů s propojenými průměry, vpravo body stromů a dvě fialové přímky pro stromy vysoké 21 a 25 m; přímka vyšších stromů je strmější.

Co se mění? Rozdíl mezi přímkami podél osy délky.

Co se mění? Rozdíl mezi pohlavími podle formy.

Co se mění? Sklon průměru s výškou stromu.

Co musíme doplnit, aby tvrzení o efektu bylo úplné?


Neúplné

„Délka má efekt.“

„Samci jsou větší.“

„Průměr kmene má efekt.“

Opravte tvrzení

  • Pro které pohlaví?
  • Při jaké délce?
  • V které barevné formě?
  • Větší v jakém znaku?
  • Při jaké výšce?


V modelu s interakcí vždy uvádíme hodnotu nebo úroveň druhého prediktoru.

Jak číst model s interakcí?

1. Otázka Mění se vztah nebo rozdíl podle druhého prediktoru?

2. Data a předpovědi Ukažte body a předpovědi pro konkrétní kombinace.

3. Koeficienty Hlavní koeficient platí v referenční skupině nebo při nule druhého prediktoru.

4. Závěr Jen v rozsahu dat a jako souvislost, ne příčina.

Co si odnést

  • Interakci potřebujeme, když vztah jednoho prediktoru závisí na druhém; podpořit ji má biologická otázka i graf.
  • x * y je zkratka pro x + y + x:y.
  • Hlavní koeficienty jsou podmíněné; skupiny porovnáváme pomocí předpovědí při zvolené hodnotě.
  • U dvou skupinových prediktorů je interakce rozdíl dvou rozdílů.
  • U dvou číselných prediktorů se sklon jednoho plynule mění s hodnotou druhého.
  • Závěr omezujeme na pozorovaný rozsah a na souvislost v pozorovacích datech.

Data: Campbell, N. A. a Mahon, R. J. (1974) · Meyer, H. A. (1953) · data/krabi.csv, data/stromy.csv

Který biologicky smysluplný model máme zvolit?

Modří krabi na pláži porovnávají dvě dvojice stop v písku, vždy zelenou a růžovofialovou: vlevo zůstávají stopy rovnoběžné, vpravo se postupně rozcházejí.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Aditivní kandidát

zadni_sirka_mm ~
delka_krunyre_mm + pohlavi

Stálý rozdíl


Interakční kandidát

zadni_sirka_mm ~
delka_krunyre_mm * pohlavi

Měnící se rozdíl

Jak mezi kandidáty vybírat, ukáže následující lekce.

Kde byste čekali interakci vy?

Uveďte biologickou otázku, u které byste čekali, že vztah dvou znaků závisí na skupině nebo na hodnotě jiného znaku.

Jak by vypadal graf?