Kdy vztah dvou znaků závisí na třetím?

Interakce číselného a skupinového znaku, dvou skupinových i dvou číselných znaků

Publikováno

22. září 2026

Upraveno

17. října 2026

1 Liší se vztah délky a zadní šířky krunýře mezi samicemi a samci?

Představte si dva kraby se stejně dlouhým krunýřem, jednoho samce a jednu samici. Musí mít stejně širokou zadní část krunýře? A bude případný rozdíl stejný u kratších i delších krabů? To je otázka vztahu dvou měřených znaků v různých skupinách, nikoli otázka, které pohlaví je obecně větší.

Proč bychom rozdíl vůbec čekali? Zadní část krunýře leží zhruba nad zadečkem, který má krab podvinutý pod tělem. Samice pod zadečkem nosí oplozená vajíčka, dokud se z nich nevylíhnou larvy. Campbell a Mahon (1974), z jejichž měření budeme vycházet, zjistili, že se samice a samci pobřežních krabů rodu Leptograpsus liší poměrem zadní šířky a délky krunýře. Pokud samice s rostoucí velikostí potřebují pro snůšku relativně více místa, mohl by se rozdíl mezi pohlavími s velikostí krabů měnit. Je to biologické očekávání; zda mu odpovídají i naše data, ukážou až měření.

Hlavní otázka této lekce

Je rozdíl v zadní šířce krunýře mezi stejně dlouhou samicí a samcem stejný u menších i větších krabů?

Zadní šířku budeme odhadovat z délky krunýře a pohlaví. Data jsou pozorovací: samotný rozdíl mezi skupinami nám neřekne, co jej způsobilo.

2 Kdy předpovídají dvě přímky stejný sklon?

V minulé lekci jste viděli model se dvěma prediktoryProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x.: číselným znakem a skupinou. Jeho dvě předpovědní přímky byly rovnoběžné. Jak se podle takového modelu změní rozdíl mezi skupinami, když se číselný prediktor zvětší?

Vybavte si minulou lekci

Nakreslete dvě rovnoběžné přímky. Vyberte na ose x dvě různé hodnoty. Je svislá vzdálenost mezi přímkami v obou místech stejná?

Možná odpověď

Ano. Rovnoběžné přímky mají společný sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů)., takže jejich svislá vzdálenost zůstává stejná.

Zkusme zjistit, zda takové omezení dává smysl i pro kraby.

3 Výsledky učení

Po prostudování této lekce budete schopni:

rozpoznat biologickou otázku, ve které vztah jednoho prediktoruProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. k odezvěProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. závisí na hodnotě nebo úrovni druhého prediktoru;
fitovat lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). s interakcíSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru. a zobrazit jeho předpovědi pro kombinace číselných i skupinových prediktorů;
vyložit koeficienty modelu s interakcí jako podmíněné a porovnávat skupiny nebo různé hodnoty prediktoru pomocí předpovědí při zvolené hodnotě druhého prediktoru;
vysvětlit interakci dvou skupinových prediktorů jako rozdíl dvou rozdílů;
omezit závěr na pozorovaný rozsah dat a na souvislost v pozorovacích datech.

4 Jeden řádek tabulky představuje jednoho kraba

Použijeme měření krabů z práce Campbell a Mahon (1974). Autoři změřili stejný počet samic a samců dvou barevných forem pobřežního kraba, modré a oranžové, které považují za samostatné druhy rodu Leptograpsus. Soubor krabi.csv je součástí materiálů lekce. Pro následující kód jej uložte do složky data ve svém projektu v R. Načteme ho a zkontrolujeme názvy a typy sloupců:

# Načteme tabulku všech změřených krabů
data_krabi_vse <-
  read.csv(file = "data/krabi.csv")

# Zkontrolujeme názvy a typy sloupců
str(object = data_krabi_vse)

'data.frame':   200 obs. of  8 variables:
 $ sp   : chr  "B" "B" "B" "B" ...
 $ sex  : chr  "M" "M" "M" "M" ...
 $ index: int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ FL   : num  8.1 8.8 9.2 9.6 9.8 10.8 11.1 11.6 11.8 11.8 ...
 $ RW   : num  6.7 7.7 7.8 7.9 8 9 9.9 9.1 9.6 10.5 ...
 $ CL   : num  16.1 18.1 19 20.1 20.3 23 23.8 24.5 24.2 25.2 ...
 $ CW   : num  19 20.8 22.4 23.1 23 26.5 27.1 28.4 27.8 29.3 ...
 $ BD   : num  7 7.4 7.7 8.2 8.2 9.8 9.8 10.4 9.7 10.3 ...

Sloupec sp označuje barevnou formu (B modrá, O oranžová), sex pohlaví (F samice, M samec). CL je délka krunýře a RW šířka jeho zadní části; obě hodnoty jsou v milimetrech. Délka a zadní šířka jsou dvě různé osy téhož krunýře. Ostatní rozměry v této lekci nepotřebujeme.

Pro první otázku vybereme jen kraby modré formy a tři potřebné sloupce. Jeden řádek znamená jednoho změřeného kraba, ne opakované měření téhož jedince.

# Vybereme modrou formu a tři znaky potřebné pro otázku
data_krabi <-
  data_krabi_vse[
    data_krabi_vse$sp == "B",
    c("sex", "CL", "RW")
  ]

# Přejmenujeme sloupce podle toho, co znamenají
names(data_krabi) <-
  c("pohlavi", "delka_krunyre_mm", "zadni_sirka_mm")

# Pohlaví převedeme na faktor; první úroveň bude referenční skupinou
data_krabi$pohlavi <-
  factor(
    x = data_krabi$pohlavi,
    levels = c("F", "M"),
    labels = c("samice", "samec")
  )

# Každý řádek tabulky patří jednomu krabovi
head(x = data_krabi, n = 6)

  pohlavi delka_krunyre_mm zadni_sirka_mm
1   samec             16.1            6.7
2   samec             18.1            7.7
3   samec             19.0            7.8
4   samec             20.1            7.9
5   samec             20.3            8.0
6   samec             23.0            9.0

Doplňující: jak vznikl soubor krabi.csv

Soubor krabi.csv je nezměněná kopie tabulky crabs z balíčku MASS, který se instaluje spolu s R. Připravený soubor používáme proto, aby všichni pracovali se stejnou verzí dat. Stejnou tabulku si můžete vytvořit sami; kód spusťte v hlavní složce svého projektu:

# Tabulka je součástí balíčku MASS
data_krabi_zdroj <-
  as.data.frame(x = MASS::crabs)

# Kontrola: 200 krabů, 8 sloupců a žádné chybějící hodnoty
dim(x = data_krabi_zdroj)
sum(is.na(x = data_krabi_zdroj))

# Uložíme tabulku do složky data jako soubor CSV
dir.create(
  path = "data",
  showWarnings = FALSE
)
write.csv(
  x = data_krabi_zdroj,
  file = "data/krabi.csv",
  row.names = FALSE
)

Funkce write.csv() uloží textové sloupce v uvozovkách, takže se soubor může lišit vzhledem, ne hodnotami: po načtení pomocí read.csv() dostanete stejnou tabulku. Výuková kopie byla vytvořena z verze 7.3-66 balíčku MASS.

Původ a dosah dat

Campbell, N. A. a R. J. Mahon (1974): A multivariate study of variation in two species of rock crab of the genus Leptograpsus. Australian Journal of Zoology 22, 417–425. Tabulku šíří balíček MASS (MASS::crabs) pod licencí GPL-2 nebo GPL-3; soubor krabi.csv je její nezměněná kopie. Autoři vybrali do každé kombinace formy a pohlaví právě 50 krabů. Popis zdroje nedokládá náhodný výběrSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. ze všech krabů; naše závěry proto vztahujeme k těmto měřením, ne automaticky k celé populaci.

5 Které délky a šířky jsou v datech zastoupené?

Před modelem zkontrolujeme typy proměnnýchVlastnost zaznamenaná u pozorování, která může mezi pozorováními nabývat různých hodnot, například druh, délka nebo počet., chybějící hodnoty a rozsahy. To nám také ukáže, při jakých délkách má smysl porovnávat předpovědi obou pohlaví.

# Ověříme typy sloupců a chybějící hodnoty
str(object = data_krabi)

'data.frame':   100 obs. of  3 variables:
 $ pohlavi         : Factor w/ 2 levels "samice","samec": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
 $ delka_krunyre_mm: num  16.1 18.1 19 20.1 20.3 23 23.8 24.5 24.2 25.2 ...
 $ zadni_sirka_mm  : num  6.7 7.7 7.8 7.9 8 9 9.9 9.1 9.6 10.5 ...

colSums(x = is.na(data_krabi))

         pohlavi delka_krunyre_mm   zadni_sirka_mm 
               0                0                0

# Rozdělíme kraby podle pohlaví a prohlédneme každou skupinu zvlášť
data_samice <-
  data_krabi[data_krabi$pohlavi == "samice", ]
data_samci <-
  data_krabi[data_krabi$pohlavi == "samec", ]
summary(object = data_samice)

   pohlavi   delka_krunyre_mm zadni_sirka_mm 
 samice:50   Min.   :14.70    Min.   : 6.50  
 samec : 0   1st Qu.:23.93    1st Qu.:10.62  
             Median :27.90    Median :12.20  
             Mean   :28.10    Mean   :12.14  
             3rd Qu.:32.75    3rd Qu.:13.88  
             Max.   :40.90    Max.   :16.90

summary(object = data_samci)

   pohlavi   delka_krunyre_mm zadni_sirka_mm 
 samice: 0   Min.   :16.10    Min.   : 6.70  
 samec :50   1st Qu.:27.23    1st Qu.:10.65  
             Median :32.45    Median :11.70  
             Mean   :32.01    Mean   :11.72  
             3rd Qu.:37.15    3rd Qu.:13.28  
             Max.   :47.10    Max.   :15.80

V souboru je 100 krabů, z toho 50 samic a 50 samců. V těchto třech sloupcích chybí 0 hodnot. Délka krunýře samic sahá od 14,7 do 40,9 mm, u samců od 16,1 do 47,1 mm. Obě skupiny tedy mají společný rozsah pozorovaných délek. To nám později umožní porovnat modelové předpovědi pro stejně dlouhou samici a samce bez extrapolace.

6 Jak souvisí délka a zadní šířka krunýře?

Každý bod v následujícím bodovém grafu (anglicky scatter plot)Graf vztahu dvou numerických proměnných, v němž každý bod představuje jedno pozorování a jeho dvě hodnoty určují polohu na osách. představuje jednoho kraba. Vodorovná souřadnice je délka krunýře, svislá zadní šířka. Barva a tvar bodu rozlišují pohlaví, takže graf zůstane čitelný i bez barev.

# Barvy a symboly přiřazujeme v celé lekci stejným skupinám
vec_barvy_pohlavi <-
  c(samice = "#009E73", samec = "#CC79A7")
vec_symboly_pohlavi <-
  c(samice = 16, samec = 17)

# Jeden bod představuje jednoho změřeného kraba
plot(
  x = data_krabi$delka_krunyre_mm,
  y = data_krabi$zadni_sirka_mm,
  col = vec_barvy_pohlavi[as.character(data_krabi$pohlavi)],
  pch = vec_symboly_pohlavi[as.character(data_krabi$pohlavi)],
  xlab = "Délka krunýře (mm)",
  ylab = "Zadní šířka krunýře (mm)",
  cex.axis = 1.2,
  cex.lab = 1.2
)
legend(
  x = "topleft",
  legend = names(vec_barvy_pohlavi),
  col = vec_barvy_pohlavi,
  pch = vec_symboly_pohlavi,
  bty = "n"
)

Bodový graf zadní šířky krunýře proti délce krunýře u modrých krabů; body samic jsou zelené kruhy, body samců růžovofialové trojúhelníky a oba soubory bodů stoupají zleva doprava.

Co vidíte v grafu?

Když se pohybujete zleva doprava, co se děje se zadní šířkou? Vypadají oba soubory bodů, jako by měly stejný sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).?

Možná odpověď

Body naznačují rostoucí vztah u obou pohlaví. Samice mají při podobné délce obvykle větší zadní šířku, ale samotný pohled na body zatím nestačí k přesnému vyčíslení, zda se tento rozdíl s délkou mění.

7 Rovnoběžné přímky předpokládají společný sklon

Začneme známým aditivním modelem. Oba prediktoryProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. v něm mohou měnit předpovězenou šířku, ale sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). vůči délce je pro obě pohlaví společný.

# Aditivní model připouští posun mezi skupinami, ale stejný sklon
mod_rovnobezne <-
  lm(
    formula = zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm + pohlavi,
    data = data_krabi
  )
coef(object = mod_rovnobezne)

     (Intercept) delka_krunyre_mm     pohlavisamec 
        2.819657         0.331590        -1.717180

Body krabů obou pohlaví a dvě rovnoběžné přímky aditivního modelu; přímka samic leží nad přímkou samců a obě vedou jen přes délky pozorované v dané skupině.

Co předpovídá aditivní model?

Co by tento model předpověděl o rozdílu v zadní šířce mezi stejně dlouhými kraby u kratších a delších délek z pozorovaného rozsahu?

Možná odpověď

Přímky zůstávají rovnoběžné, takže předpovězený rozdíl je v obou případech stejný. Je to vlastnost modelu, kterou jsme do něj vložili znakem +, ne výsledek samostatného testu této vlastnosti.

8 Mění se rozdíl mezi samicemi a samci s délkou krunýře?

V bodovém grafuGraf vztahu dvou numerických proměnných, v němž každý bod představuje jedno pozorování a jeho dvě hodnoty určují polohu na osách. se rozdíl mezi skupinami při různých délkách nemusí jevit jako stálý. Na stejné osy proto můžeme orientačně vést přímku každou skupinou zvlášť. Srovnejte jejich směr s rovnoběžnými přímkami předchozího obrázku; body krabů jsou v obou grafech stejné.

Stejné body krabů s přímkou vedenou zvlášť každým pohlavím; přímka samic stoupá strměji než přímka samců a vzdálenost mezi nimi se s délkou zvětšuje.

Předpovězte tvar

Pokud mají samice při určité společné délce větší předpovězenou zadní šířku a jejich přímka stoupá rychleji, bude rozdíl mezi přímkami u delších krabů menší, stejný, nebo větší?

Možná odpověď

Rozdíl by byl větší. Dvě různě strmé přímky totiž mění vzájemnou svislou vzdálenost s délkou.

Když se svislá vzdálenost přímek mění s délkou, závisí vztah délky a šířky na pohlaví. Této závislosti říkáme interakce prediktorůSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru.. Stejnou myšlenku můžeme vyjádřit jedním modelem, který oba sklonyParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). odhadne společně.

9 Model s interakcí dovoluje samicím a samcům různé sklony

Předchozí obrázek ukázal, proč zkusit model se dvěma různými sklonyParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).. Délku krunýře v modelu měříme v milimetrech. Zápis delka_krunyre_mm * pohlavi dovolí, aby se sklon vůči délce mezi pohlavími lišil. Jednotlivé členy tohoto vzorce rozebereme po konkrétní předpovědi.

# Hvězdička připustí odlišné sklony pro samice a samce
mod_interakce <-
  lm(
    formula = zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm * pohlavi,
    data = data_krabi
  )

Předpovědní přímky kreslíme jen v rozsahu délek, které byly v dané skupině opravdu pozorovány. Za konci těchto úseků bychom už extrapolovali.

Body krabů a dvě nerovnoběžné přímky modelu s interakcí; přímka samic stoupá strměji než přímka samců.

Přímka samic zde stoupá strměji než přímka samců. Čáry jsou odhadnuté hodnotyHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ. modelu, zatímco body jsou skutečná měření. Svislou vzdálenost přímek vyčíslíme pro jednu společnou délku krunýře.

10 Co model předpovídá pro stejně dlouhou samici a samce?

V grafu obou přímek můžeme porovnat jejich výšku nad stejným místem vodorovné osy. Zvolíme délku, která leží uvnitř pozorovaného rozsahu samic i samců a snadno ji najdeme na ose. Při srovnání pohlaví tak držíme délku krunýře stejnou.

# Zvolíme společnou délku uvnitř pozorovaného rozsahu obou pohlaví
delka_porovnani_mm <- 30

# Připravíme stejnou délku pro samici i samce
data_porovnani <-
  data.frame(
    delka_krunyre_mm = rep(x = delka_porovnani_mm, times = 2),
    pohlavi = c("samice", "samec")
  )

# Model odhadne šířku pro obě kombinace
data_porovnani$odhad_sirky_mm <-
  predict(
    object = mod_interakce,
    newdata = data_porovnani
  )
data_porovnani

  delka_krunyre_mm pohlavi odhad_sirky_mm
1               30  samice       12.91000
2               30   samec       11.14947

Zvolili jsme 30 mm. Která přímka je nad touto délkou výše? Oba odhady jsou v grafu označeny prázdnými kruhy. Svislá tečkovaná čára ukazuje místo, kde čteme jejich svislou vzdálenost; menší body zůstávají naměřenými kraby.

Nerovnoběžné přímky modelu s interakcí a svislá tečkovaná čára při zvolené délce krunýře; dva prázdné kruhy označují odhad samice na horní přímce a odhad samce na dolní přímce.

Rozdíl při zvolené délce

Při délce 30 mm model odhaduje zadní šířku samice 12,91 mm a samce 11,15 mm. Rozdíl samec minus samice je −1,76 mm. Samčí předpověď tedy leží o 1,76 mm níže.

Přímky nemají stejný sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů)., a proto se jejich svislá vzdálenost s délkou mění. Koeficienty modelu ukážou, o kolik se tento rozdíl změní při porovnání délek vzdálených o 1 mm.

11 Co znamenají koeficienty modelu s interakcí?

Z minulé lekce známe aditivní model se společným sklonemParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).:

zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm + pohlavi

Aby se sklon mohl mezi pohlavími lišit, přidáme interakční členSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru. označený dvojtečkou:

zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm + pohlavi + delka_krunyre_mm:pohlavi

R nabízí pro celý pravý výraz kratší zápis s hvězdičkou:

zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm * pohlavi

Obecně tedy platí x * y = x + y + x:y. Výpis summary() ukáže čtyři koeficienty: interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y). a koeficient pro každý ze tří členů na pravé straně. Jde o tentýž model, který nakreslil obě přímky a vytvořil předpovědi při 30 mm:

summary(object = mod_interakce)


Call:
lm(formula = zadni_sirka_mm ~ delka_krunyre_mm * pohlavi, data = data_krabi)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.92402 -0.34114 -0.01188  0.23472  1.23484 

Coefficients:
                              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                    0.70771    0.29380   2.409   0.0179 *  
delka_krunyre_mm               0.40674    0.01023  39.742  < 2e-16 ***
pohlavisamec                   1.97311    0.40042   4.928 3.47e-06 ***
delka_krunyre_mm:pohlavisamec -0.12445    0.01317  -9.450 2.27e-15 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.4241 on 96 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9664,    Adjusted R-squared:  0.9654 
F-statistic: 921.2 on 3 and 96 DF,  p-value: < 2.2e-16

V tabulce Coefficients jsou čtyři řádky. Sloupec Estimate obsahuje odhadyČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. v milimetrech nebo v milimetrech šířky na milimetr délky. Referenční skupinou jsou samice, protože jsme je při tvorbě faktoru pohlavi uvedli jako první.

(Intercept), tedy intercept, je odhad zadní šířky samice s délkou krunýře 0 mm: 0,708 mm. Takto malého kraba jsme neměřili; číslo samo o sobě biologicky nevykládáme.
delka_krunyre_mm je sklon samičí přímky: při délce o 1 mm větší model odhaduje šířku větší o 0,407 mm. Nejde o růst jednoho kraba v čase, ale o porovnání různě dlouhých jedinců.
pohlavisamec je rozdíl samec minus samice při délce 0 mm: +1,973 mm. Není to rozdíl mezi pohlavími při každé délce ani odhad pro některého ze změřených krabů.
delka_krunyre_mm:pohlavisamec je interakční člen: rozdíl sklon samce minus sklon samice, −0,124 mm/mm. Záporná hodnota říká, že samčí přímka stoupá pomaleji.

Doplňující: proč s interakcí ponecháváme i oba hlavní členy

Hvězdička rozvine model na delka_krunyre_mm + pohlavi + delka_krunyre_mm:pohlavi. První dva členy určují referenční přímku a rozdíl mezi skupinami v referenční hodnotě délky; poslední člen popisuje rozdíl sklonů. Tomuto uspořádání se říká hierarchický princip modelu.

Kdybychom hlavní člen délky nebo pohlaví bez věcného důvodu odstranili, interakční koeficient by zůstal bez přirozeného základu, vůči kterému se interpretuje. Výjimky existují pro úzce formulované modely, ale v úvodní analýze ponecháváme oba hlavní členy a biologickou otázku čteme z jejich společných předpovědí.

Hodnota 0 mm určuje pouze to, co v tomto zápisu znamenají dva koeficienty. Pro srovnání skutečně měřených délek použijeme oba koeficienty sklonu a dosadíme délku z pozorovaného rozsahu. Rozdíl −1,76 mm jsme už odečetli z předpovědí při 30 mm. Následující výpočet nepřináší nový výsledek; ukazuje, jak se stejná hodnota sestaví ze čtyř řádků tabulky Coefficients. Odhad šířky samice a rozdíl samec minus samice mají tuto stavbu:

\[ \begin{aligned} \text{odhad šířky samice při zvolené délce} &= \text{odhad šířky samice při 0 mm} \\ &\quad + \text{zvolená délka}\times\text{samičí sklon} \\ \text{rozdíl samec minus samice při zvolené délce} &= \text{rozdíl při 0 mm} \\ &\quad + \text{zvolená délka}\times\text{rozdíl sklonů} \end{aligned} \]

Při 30 mm dosadíme odhady z tabulky Coefficients:

\[ \begin{aligned} \text{odhad šířky samice} &= \text{0,7077} + 30\cdot \text{0,4067} \approx \text{12,91}\,\text{mm} \\ \text{rozdíl samec minus samice} &= \text{1,9731} + 30\cdot (\text{−0,1245}) \approx \text{−1,76}\,\text{mm} \end{aligned} \]

Ve výpočtu používáme nezaokrouhlené koeficienty modelu; zobrazená čtyři desetinná místa jsou jen pro čitelnost. Po vynásobení se výpočet zkrátí na dva součty:

\[ \begin{aligned} \text{odhad šířky samice} &\approx \text{0,7077} + \text{12,2023} \approx \text{12,91}\,\text{mm} \\ \text{rozdíl samec minus samice} &\approx \text{1,9731} + (\text{−3,7336}) \approx \text{−1,76}\,\text{mm} \end{aligned} \]

Stejný postup lze zapsat stručně pro libovolnou délku:

\[ \begin{aligned} \hat{y}_{\mathrm{samice}}(x) &= \beta_0 + \beta_1 x \\ \hat{y}_{\mathrm{samec}}(x)-\hat{y}_{\mathrm{samice}}(x) &= \beta_2 + \beta_3 x \end{aligned} \]

Zde \(x\) znamená zvolenou délku krunýře v mm a \(\hat{y}\) modelový odhad zadní šířky v mm. \(\beta_0\) je řádek (Intercept) pro samici při 0 mm, \(\beta_1\) její sklon, \(\beta_2\) řádek pohlavisamec pro rozdíl při 0 mm a \(\beta_3\) interakční řádek pro rozdíl sklonů.

Odhad šířky samce získáme přičtením druhého výsledku k prvnímu: 12,91 + (−1,76) = 11,15 mm. To souhlasí s řádkem samce v tabulce předpovědí. Pro biologické porovnání čteme předpovědi při konkrétní délce a jejich rozdíl.

Samčí sklon získáme sečtením samičího sklonu a interakčního koeficientu. Vyjde 0,282 mm/mm oproti 0,407 mm/mm u samic. Rozdíl samec minus samice se při porovnání o 1 mm delších krabů změní o −0,124 mm. Pro tento rozdíl sklonů získáme z téhož modelu 95% interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr.:

# Interval patří rozdílu sklonů samce a samice
confint(
  object = mod_interakce,
  parm = "delka_krunyre_mm:pohlavisamec"
)

                                   2.5 %     97.5 %
delka_krunyre_mm:pohlavisamec -0.1505977 -0.0983116

Odhadovaný rozdíl sklonů je −0,124 mm/mm; interval sahá od −0,151 do −0,098 mm/mm. Popisuje nejistotuRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb. odhadu při předpokladech modelu, nikoli rozsah šířek jednotlivých krabů.

Koeficient pohlaví neplatí při každé délce

Samotný koeficient pohlavisamec popisuje rozdíl při 0 mm, tedy mimo pozorované délky. Při biologickém porovnání vždy uveďte konkrétní délku a porovnejte dvě modelové předpovědi při této délce.

Doplňující: co dalšího ukazuje summary()?

Sloupec Std. Error popisuje nejistotu jednotlivých koeficientů. t value a Pr(>|t|) slouží k testování, zda by příslušný podmíněný koeficient mohl být nulový při předpokladech modelu. Hvězdičky u p-hodnotPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data. nejsou velikostí biologického rozdílu: například test u (Intercept) se ptá na nulovou šířku samice při délce 0 mm, což zde není zajímavá biologická otázka.

Část Residuals stručně shrnuje odchylky jednotlivých krabů od přímek. Residual standard error je reziduální směrodatná odchylkaOdhad typické velikosti residuí v jednotkách odezvy; popisuje rozptýlení pozorování kolem hodnot odhadnutých modelem.; popisuje typickou velikost těchto odchylek v milimetrech. Údaje Multiple R-squared, Adjusted R-squared a F-statistic zatím nepotřebujeme k výkladu interakce; k porovnáváníPostup výběru nejlepšího modelu z množiny kandidátů pomocí kritérií jako AIC nebo likelihood ratio test. biologicky zdůvodněných modelů se vrátíme v následující lekci.

Doplňující: modelové průměry při zvolené délce pomocí emmeans

Funkci emmeans() znáte z předchozích lekcí. Pracuje se stejným odhadnutým modelem jako naše tabulka předpovědí; nastavíme v ní délku krunýře na 30 mm.

# Odhadneme průměrnou zadní šířku obou pohlaví při zvolené délce
prumery_sirka <-
  emmeans::emmeans(
    object = mod_interakce,
    specs = ~ pohlavi | delka_krunyre_mm,
    at = list(delka_krunyre_mm = delka_porovnani_mm)
  )
prumery_sirka

delka_krunyre_mm = 30:
 pohlavi emmean     SE df lower.CL upper.CL
 samice    12.9 0.0630 96     12.8     13.0
 samec     11.1 0.0623 96     11.0     11.3

Confidence level used: 0.95

Sloupec emmean obsahuje stejné dvě bodové předpovědi jako naše tabulka z predict(). Sloupce lower.CL a upper.CL vymezují modelový interval pro průměrnouSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). šířku skupiny, ne rozsah šířek jednotlivých krabů. Chceme-li interval přímo pro rozdíl samec minus samice, vypočteme jej zvlášť:

# Odečteme samičí odhad od samčího odhadu
rozdily_sirka <-
  emmeans::contrast(
    object = prumery_sirka,
    method = "revpairwise"
  )
confint(object = rozdily_sirka)

delka_krunyre_mm = 30:
 contrast       estimate     SE df lower.CL upper.CL
 samec - samice    -1.76 0.0886 96    -1.94    -1.58

Confidence level used: 0.95

Odhad rozdílu odpovídá dříve vypočteným −1,76 mm. Interval pro rozdíl vzniká z obou předpovědí a jejich společné nejistoty; nelze jej spolehlivě vyčíst jen z překryvu dvou intervalů pro jednotlivé průměry. Způsob výběru krabů stále omezuje, na koho lze výsledek přenést.

12 Jak dobře přímky popisují změřené kraby?

Přímky procházejí oběma mračny bodů, ale jednotlivé šířky se od nich odchylují. Pro každého kraba je residuumRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. rozdíl mezi naměřenou a odhadnutou šířkouHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ.. Graf residuí proti odhadům pomůže odhalit zakřivení nebo změnu rozptyluPrůměr čtverců odchylek od průměru; míra variability dat. Odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka., které by dvě přímky nezachytily.

# Spočteme rozdíl mezi měřením a předpovědí pro každého kraba
data_krabi$odhad_sirky_mm <-
  fitted(object = mod_interakce)
data_krabi$residuum_mm <-
  data_krabi$zadni_sirka_mm - data_krabi$odhad_sirky_mm

# Nula znamená dokonalou shodu měření a předpovědi
plot(
  x = data_krabi$odhad_sirky_mm,
  y = data_krabi$residuum_mm,
  col = vec_barvy_pohlavi[as.character(data_krabi$pohlavi)],
  pch = vec_symboly_pohlavi[as.character(data_krabi$pohlavi)],
  xlab = "Odhadnutá zadní šířka (mm)",
  ylab = "Residuum (mm)",
  cex.axis = 1.2,
  cex.lab = 1.2
)
abline(h = 0, lty = 2)

Residua modelu s interakcí proti odhadnuté zadní šířce; body samic a samců leží nad i pod vodorovnou přerušovanou nulou bez oblouku a s podobným rozptylem v celém rozsahu odhadů.

Hledáme soustavné zakřivení nebo nápadně větší rozptyl na jedné straně: tím bychom poznali, že dvě přímky některou část vztahu nevystihují. V tomto grafu nic takového nevidíme. Residua leží nad nulou i pod ní v celém rozsahu odhadů, netvoří oblouk a jejich rozptyl je u malých i velkých odhadů podobný. Vraťte se také k bodovému grafuGraf vztahu dvou numerických proměnných, v němž každý bod představuje jedno pozorování a jeho dvě hodnoty určují polohu na osách. a prohlédněte kraby na koncích rozsahu délek. V těchto místech je méně sousedních měření, a jednotlivý krajní bod může sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). přímky více ovlivnit. Takový bod je důvod k ověření měření a citlivosti závěru, ne k automatickému odstranění.

Diagnostika modeluSoubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů. sama nezaručí, že je vztah v populaci přesně lineární, že výběr krabů byl reprezentativní, ani že pohlaví něco způsobilo. Předpovědi mimo pozorované délky jsme nekontrolovali.

Doplňující: interakci můžeme číst jen tam, kde máme data

Rozdíl sklonů je odhadnut z oblastí, kde máme měření obou pohlaví. Kdyby samice byly pozorovány jen mezi kratšími délkami a samci jen mezi delšími délkami bez společného rozsahu, model by sice dokázal nakreslit dvě přímky, ale jejich srovnání při stejné délce by bylo založeno hlavně na extrapolaci.

Před interpretací interakce proto kontrolujeme nejen počet bodů, ale také společný rozsah hodnot a zastoupení všech důležitých kombinací. Řídká nebo prázdná část grafu znamená, že modelová předpověď je méně podepřená skutečnými srovnáními. Více parametrů nemůže vytvořit informaci v kombinaci, kterou jsme nepozorovali.

Co ukázal první příklad

U těchto změřených krabů modré formy roste odhadnutá zadní šířka s délkou u obou pohlaví. Sklon je u samic přibližně 0,407 mm šířky na 1 mm délky a u samců 0,282 mm/mm. Při 30 mm je modelový rozdíl samec minus samice −1,76 mm. Samčí sklon je o 0,124 mm/mm menší, takže u krabů s větší délkou model předpovídá ještě větší náskok samic. To odpovídá biologickému očekávání z úvodu, že samice s rostoucí velikostí mají relativně širší zadní část krunýře. Jde však o souvislost v těchto měřeních, nikoli o důkaz, že ji způsobuje pohlaví nebo nošení snůšky.

13 Liší se rozdíl v délce krunýře mezi pohlavími u obou barevných forem?

Vztah zadní šířky k délce jsme sledovali pouze u modré formy. Soubor obsahuje také oranžovou barevnou formu. U mnoha živočichů se samice a samci liší velikostí a tento rozdíl nemusí být stejný u příbuzných druhů nebo forem. Můžeme se proto zeptat na jiný rozměr týchž krabů: je rozdíl v délce krunýře mezi samci a samicemi stejný u obou forem? OdezvouProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. je tentokrát délka krunýře v milimetrech. Barevná forma i pohlaví jsou kategoriální proměnnéProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). neboli skupinové znaky; pro tento příklad nepotřebujeme číselný prediktorProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x..

Co tato data o velikosti krabů neřeknou

Autoři vybrali do každé ze čtyř skupin právě 50 krabů. PrůměrnéSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). délky proto závisejí také na tom, které kraby sesbírali a změřili, nejen na tom, jak velcí krabi dané formy a pohlaví v přírodě obvykle jsou. Příklad nám ukáže, jak číst model se dvěma skupinovými znaky; tvrzení o velikosti krabů v přírodě by vyžadovalo náhodný výběrSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces..

# Ze stejné tabulky vybereme novou odezvu i oba skupinové znaky
data_formy <-
  data_krabi_vse[, c("sp", "sex", "CL")]
names(data_formy) <-
  c("forma", "pohlavi", "delka_krunyre_mm")

# Obě skupinové proměnné převedeme na faktory s referenční úrovní
data_formy$forma <-
  factor(
    x = data_formy$forma,
    levels = c("B", "O"),
    labels = c("modrá", "oranžová")
  )
data_formy$pohlavi <-
  factor(
    x = data_formy$pohlavi,
    levels = c("F", "M"),
    labels = c("samice", "samec")
  )

# Počty ve čtyřech skupinách a chybějící délky
table(data_formy$forma, data_formy$pohlavi)

          
           samice samec
  modrá        50    50
  oranžová     50    50

colSums(x = is.na(data_formy))

           forma          pohlavi delka_krunyre_mm 
               0                0                0

summary(object = data_formy$delka_krunyre_mm)

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  14.70   27.27   32.10   32.11   37.23   47.60

V souboru je 200 krabů. V každé ze čtyř kombinací je 50 měření; v délce krunýře chybí 0 hodnot. Pozorované délky v celém souboru sahají od 14,7 do 47,6 mm. Jeden řádek stále představuje jednoho kraba. Názvy forem označují dvě skupiny v datovém souboru, nikoli zásah, který bychom krabům přidělili.

14 Jaké délky krunýře vidíme ve čtyřech skupinách?

Podívejte se na jednotlivé naměřené délky; každý bod představuje jednoho kraba. Body samic a samců jsou uvnitř každé barevné formy mírně posunuté do stran, aby se méně překrývaly; barvy a tvary bodů pro pohlaví zůstávají stejné jako v předchozích grafech. Modrý a oranžový kroužek u popisku připomíná barevnou formu.

Délky krunýře jednotlivých krabů ve čtyřech skupinách: samice a samci modré formy vlevo, samice a samci oranžové formy vpravo; ve všech skupinách se délky výrazně překrývají.

Pozorované průměrné délky krunýře ve čtyřech skupinách.
Barevná forma	Samice: průměr (mm)	Samec: průměr (mm)
modrá	28,10	32,01
oranžová	34,62	33,69

Porovnejte obě formy

Ve které formě mají samci větší průměrnouSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). délku než samice? Platí to i ve druhé formě?

Možná odpověď

U modré formy činí rozdíl samec minus samice +3,91 mm. U oranžové formy je to −0,93 mm, takže rozdíl má opačný směr.

Průměry popisují skupiny, zatímco jednotlivé body v obrázku připomínají velkou proměnlivost délek mezi kraby uvnitř každé skupiny.

15 Jak model zachytí změnu rozdílu mezi pohlavími podle formy?

Vrátíme se ke stejnému obrázku se všemi jednotlivými kraby. Body ani osy neměníme. Přidáme pouze velké kosočtverce pro čtyři průměrySoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). a v každé barevné formě spojíme průměr samic s průměrem samců. Sklon spojnice zde nevyjadřuje spojitou předpověď; pouze zvýrazňuje velikost a směr rozdílu mezi dvěma kategoriemi.

Stejné body čtyř skupin doplněné o čtyři velké kosočtverce s průměry; u modré formy spojnice stoupá od samic k samcům, u oranžové formy mírně klesá.

Na modré formě leží průměr samců nad průměrem samic; na oranžové pod ním. Zajímá nás, o kolik se rozdíl samec minus samice změní mezi formami. Tento rozdíl dvou rozdílů je druhým typem interakceSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru.:

\[ \begin{aligned} \text{změna rozdílu mezi pohlavími} &= \text{průměr délky oranžových samců} \\ &\quad - \text{průměr délky oranžových samic} \\ &\quad - \text{průměr délky modrých samců} \\ &\quad + \text{průměr délky modrých samic} \end{aligned} \]

Vezmeme čtyři průměry z tabulky a odečteme vždy dvě hodnoty ze stejného řádku:

\[ \begin{aligned} \text{změna rozdílu mezi pohlavími} &= (\text{33,688} - \text{34,618}) - (\text{32,014} - \text{28,102}) \\ &= \text{−0,930} - \text{3,912} \\ &= \text{−4,842}\,\text{mm} \end{aligned} \]

Stručně lze stejné čtyři průměry označit \(\bar y_{O,M}\), \(\bar y_{O,F}\), \(\bar y_{B,M}\) a \(\bar y_{B,F}\); \(O\) a \(B\) označují oranžovou a modrou formu, \(M\) a \(F\) samce a samici a pruh nad \(y\) průměr délky. Pak platí \(\Delta = (\bar y_{O,M} - \bar y_{O,F}) - (\bar y_{B,M} - \bar y_{B,F})\), kde \(\Delta\) označuje změnu rozdílu mezi pohlavími při přechodu od modré k oranžové formě.

Jediným modelem můžeme tyto čtyři skupinové průměry odhadnout společně. Hvězdička zahrne obě skupiny i jejich interakci:

# Referenční kombinací je modrá forma a samice
mod_formy <-
  lm(
    formula = delka_krunyre_mm ~ forma * pohlavi,
    data = data_formy
  )
summary(object = mod_formy)


Call:
lm(formula = delka_krunyre_mm ~ forma * pohlavi, data = data_formy)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-16.988  -4.636   0.184   5.130  15.086 

Coefficients:
                           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                 28.1020     0.9499  29.584  < 2e-16 ***
formaoranžová                6.5160     1.3434   4.851  2.5e-06 ***
pohlavisamec                 3.9120     1.3434   2.912  0.00401 ** 
formaoranžová:pohlavisamec  -4.8420     1.8998  -2.549  0.01158 *  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 6.717 on 196 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1232,    Adjusted R-squared:  0.1098 
F-statistic: 9.181 on 3 and 196 DF,  p-value: 1.031e-05

V tabulce Coefficients se opět soustřeďte na sloupec Estimate. Řádky nejsou čtyři nezávislé průměry: jeden je referenční průměr a zbylé tři popisují, jak se od něj dostaneme k ostatním skupinám.

16 Co znamenají čtyři koeficienty modelu se dvěma skupinovými znaky?

Protože referenčními kategoriemi jsou modrá forma a samice, každý koeficient má přesně určené srovnání. OdhadyČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. vytáhneme ze stejného modelu, který vytvořil výpis summary().

(Intercept) je odhad průměrnéSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). délky modré samice: 28,102 mm. Najdete jej v tabulce průměrů v řádku modré formy a sloupci samic.
formaoranžová je rozdíl oranžová minus modrá mezi samicemi: +6,516 mm. Po přičtení k interceptuParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y). dostaneme průměr oranžových samic; tento koeficient nepopisuje rozdíl forem u obou pohlaví stejně.
pohlavisamec je rozdíl samec minus samice v modré formě: +3,912 mm. Souhlasí se svislou vzdáleností obou průměrů u modré formy.
formaoranžová:pohlavisamec je změna rozdílu samec minus samice při přechodu od modré k oranžové formě: −4,842 mm. Jde přesně o výše vypočtený rozdíl dvou rozdílů, nikoli o další samostatnou skupinu.

# Interval patří k rozdílu dvou rozdílů, ne k jedné skupině
confint(
  object = mod_formy,
  parm = "formaoranžová:pohlavisamec"
)

                               2.5 %    97.5 %
formaoranžová:pohlavisamec -8.588674 -1.095326

Modelový 95% interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. pro změnu rozdílu sahá od −8,59 do −1,10 mm. Celý leží pod nulou: při předpokladech modelu data podporují menší rozdíl samec minus samice u oranžové než u modré formy. Protože autoři vybrali do každé skupiny pevný počet krabů, nelze tento interval automaticky zobecnit na všechny kraby.

Jak model sestaví předpověď pro oranžového samce? K odhadu modré samice přidá rozdíl forem mezi samicemi, rozdíl pohlaví u modré formy a změnu tohoto rozdílu u oranžové formy:

\[ \begin{aligned} \text{odhad délky oranžového samce} &= \text{odhad délky modré samice} \\ &\quad + \text{rozdíl forem mezi samicemi} \\ &\quad + \text{rozdíl pohlaví u modré formy} \\ &\quad + \text{změna rozdílu pohlaví u oranžové formy} \end{aligned} \]

Dosazené hodnoty jsou právě čtyři řádky výpisu modelu:

\[ \begin{aligned} \text{odhad délky oranžového samce} &= \text{28,102} + \text{6,516} + \text{3,912} + (\text{−4,842}) \\ &= \text{38,530} + (\text{−4,842}) \\ &= \text{33,688}\,\text{mm} \end{aligned} \]

V obecném zkráceném zápisu je to \(\widehat y_{O,M}=\beta_0+\beta_O+\beta_M+\beta_{OM}\). Symbol \(\widehat y_{O,M}\) značí modelový odhad délky oranžového samce, \(\beta_0\) referenční průměr modré samice, \(\beta_O\) rozdíl forem u samic, \(\beta_M\) rozdíl pohlaví u modré formy a \(\beta_{OM}\) změnu tohoto rozdílu u oranžové formy.

# Vytvoříme všechny čtyři kombinace a pro každou spočteme odhad
data_kombinace <-
  expand.grid(
    forma = levels(data_formy$forma),
    pohlavi = levels(data_formy$pohlavi)
  )
data_kombinace$delka_odhad_mm <-
  predict(
    object = mod_formy,
    newdata = data_kombinace
  )
data_kombinace

     forma pohlavi delka_odhad_mm
1    modrá  samice         28.102
2 oranžová  samice         34.618
3    modrá   samec         32.014
4 oranžová   samec         33.688

Čtyři odhady z jediného modelu; srovnání pohlaví probíhá uvnitř řádku formy.
Barevná forma	Samice: odhad (mm)	Samec: odhad (mm)
modrá	28,10	32,01
oranžová	34,62	33,69

V řádku oranžové formy je rozdíl samec minus samice −0,93 mm. Získáme jej také sečtením koeficientů pohlavisamec a formaoranžová:pohlavisamec: 3,912 + (−4,842) = −0,930 mm. Samotný koeficient pohlaví tedy platí pro modrou formu; u oranžové se k němu přidá interakce.

Doplňující: čtyři skupinové předpovědi pomocí emmeans

Stejně jako v předchozím příkladu můžeme z již odhadnutého modelu získat předpovědi pomocí emmeans(). Tentokrát žádnou číselnou hodnotu nenastavujeme: žádáme o obě pohlaví uvnitř každé barevné formy, tedy o čtyři skutečně zastoupené kombinace.

# Ze stejného modelu získáme odhad pro každou kombinaci formy a pohlaví
prumery_formy <-
  emmeans::emmeans(
    object = mod_formy,
    specs = ~ pohlavi | forma
  )
prumery_formy

forma = modrá:
 pohlavi emmean   SE  df lower.CL upper.CL
 samice    28.1 0.95 196     26.2     30.0
 samec     32.0 0.95 196     30.1     33.9

forma = oranžová:
 pohlavi emmean   SE  df lower.CL upper.CL
 samice    34.6 0.95 196     32.7     36.5
 samec     33.7 0.95 196     31.8     35.6

Confidence level used: 0.95

Sloupec emmean ukazuje stejné délky jako tabulka předpovědí z predict(). Protože model obsahuje obě skupiny i jejich interakci, tyto čtyři odhady jsou zde také rovny pozorovaným průměrům čtyř skupin. Intervaly lower.CL a upper.CL se vztahují ke skupinovým průměrům. Rozdíl samec minus samice pro každou formu vypočteme přímo:

# Opačné pořadí dvojice dává rozdíl samec minus samice
rozdily_formy <-
  emmeans::contrast(
    object = prumery_formy,
    method = "revpairwise"
  )
confint(object = rozdily_formy)

forma = modrá:
 contrast       estimate   SE  df lower.CL upper.CL
 samec - samice     3.91 1.34 196     1.26     6.56

forma = oranžová:
 contrast       estimate   SE  df lower.CL upper.CL
 samec - samice    -0.93 1.34 196    -3.58     1.72

Confidence level used: 0.95

Řádek modré formy odpovídá rozdílu +3,91 mm a řádek oranžové −0,93 mm. Interval u každého řádku se týká rozdílu pohlaví v dané formě; interval pro změnu tohoto rozdílu mezi formami jsme získali výše z interakčního koeficientu. Tyto tři otázky mají odlišné intervaly, i když vycházejí z téhož modelu.

17 Co o jednotlivých krabech čtyři průměry neříkají?

Model čtyř skupin přesně vystihuje jejich průměrySoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty).. To však neznamená, že stejně dobře vystihuje každého kraba: jednotlivé délky se od skupinových průměrů výrazně liší. Zkontrolujeme proto residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. uvnitř skupin; jejich nulový průměr je zde vlastností odhadu skupinových průměrů, nikoli důkazem bezchybného modelu. V houslovém grafu (anglicky violin plot) širší část naznačuje, kde se odchylky častěji vyskytují, a každý bod ukazuje skutečné měření jednoho kraba.

Houslové grafy residuí délky krunýře pro samice a samce v modré a oranžové formě; ve všech čtyřech skupinách leží body nad i pod přerušovanou nulou a rozpětí residuí je velké.

Ve všech skupinách jsou délky na obou stranách odhadu. Rozpětí a krajní hodnoty se mezi skupinami mohou lišit; graf proto nečtěte jako důkaz, že čtyři průměry popisují jednotlivce přesně. Bez popisu způsobu výběru krabů také nelze rozdíly automaticky zobecnit na všechny kraby ani z nich vyvozovat účinek pohlaví nebo barevné formy.

18 Přibývá objem dřeva s průměrem kmene stejně rychle u nízkých i vysokých stromů?

V obou příkladech s kraby byl aspoň jeden prediktorProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. skupinou. Interakce však může spojovat i dva číselnéProměnná, jejíž hodnoty jsou čísla se smysluplnou velikostí nebo rozdílem; může být diskrétní, například počet, nebo spojitá, například délka. prediktory. Lesníci odhadují, kolik dřeva je v kmeni, z jeho průměru a z výšky stromu. Podíváme se na měření pokácených stromů střemchy pozdní (Prunus serotina), severoamerického stromu, který se v českých lesích šíří jako invazní druh.

Co čekáte?

Představte si dvojici nízkých stromů stejné výšky, z nichž jeden má kmen o 1 cm tlustší, a stejnou dvojici vysokých stromů. O kolik více dřeva má tlustší strom v každé dvojici? Bude tento rozdíl u nízkých i vysokých stromů stejný?

Možná odpověď

Pravděpodobně ne. Centimetr průměru navíc znamená silnější vrstvu dřeva po celé délce kmene, takže delší kmen jí obsahuje více. Toto očekávání vychází z tvaru kmene, ne z fyziologie stromu. Pokud toto očekávání platí, sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). vztahu objemu a průměru bude záviset na výšce.

Soubor stromy.csv je součástí materiálů lekce; uložte jej do stejné složky data jako soubor s kraby. Hodnoty jsou v původních amerických jednotkách: průměr kmene v palcích, výška ve stopách a objem dřeva v krychlových stopách. Proto je hned převedeme:

# Načteme tabulku pokácených stromů
data_stromy <-
  read.csv(file = "data/stromy.csv")

# Převedeme jednotky na cm, m a m³
data_stromy$prumer_cm <-
  data_stromy$Girth * 2.54 # 1 palec = 2,54 cm
data_stromy$vyska_m <-
  data_stromy$Height * 0.3048 # 1 stopa = 0,3048 m
data_stromy$objem_m3 <-
  data_stromy$Volume * 0.0283168 # 1 krychlová stopa = 0,0283168 m³

# Zkontrolujeme typy sloupců, chybějící hodnoty a rozsahy
str(object = data_stromy)

'data.frame':   31 obs. of  6 variables:
 $ Girth    : num  8.3 8.6 8.8 10.5 10.7 10.8 11 11 11.1 11.2 ...
 $ Height   : int  70 65 63 72 81 83 66 75 80 75 ...
 $ Volume   : num  10.3 10.3 10.2 16.4 18.8 19.7 15.6 18.2 22.6 19.9 ...
 $ prumer_cm: num  21.1 21.8 22.4 26.7 27.2 ...
 $ vyska_m  : num  21.3 19.8 19.2 21.9 24.7 ...
 $ objem_m3 : num  0.292 0.292 0.289 0.464 0.532 ...

colSums(x = is.na(data_stromy))

    Girth    Height    Volume prumer_cm   vyska_m  objem_m3 
        0         0         0         0         0         0

summary(object = data_stromy[, c("prumer_cm", "vyska_m", "objem_m3")])

   prumer_cm        vyska_m         objem_m3     
 Min.   :21.08   Min.   :19.20   Min.   :0.2888  
 1st Qu.:28.07   1st Qu.:21.95   1st Qu.:0.5493  
 Median :32.77   Median :23.16   Median :0.6853  
 Mean   :33.65   Mean   :23.16   Mean   :0.8543  
 3rd Qu.:38.73   3rd Qu.:24.38   3rd Qu.:1.0562  
 Max.   :52.32   Max.   :26.52   Max.   :2.1804

Jeden řádek představuje jeden pokácený strom. Sloupec Girth (anglicky obvod) je podle dokumentace ve skutečnosti průměr kmene měřený asi 1,37 m nad zemí. V souboru je 31 stromů a chybí 0 hodnot. Průměr kmene sahá od 21,1 do 52,3 cm, výška od 19,2 do 26,5 m a objem dřeva od 0,29 do 2,18 m³. Vyšší stromy mívají i tlustší kmen (korelaceBezrozměrné číslo popisující směr a těsnost vztahu dvou proměnných; Pearsonova korelace shrnuje lineární vztah a Spearmanova monotónní vztah podle pořadí. průměru a výšky je 0,52); oba prediktory tedy nenesou úplně nezávislou informaci, podobně jako dvě teploty v minulé lekci.

Stromů je málo a dokumentace neuvádí, kde a jak byly vybrány. Závěry proto vztahujeme k těmto 31 stromům a k pozorovaným rozsahům průměru a výšky.

Doplňující: odkud pocházejí data o stromech

Data pocházejí z knihy Meyer, H. A. (1953): Forest Mensuration, Penns Valley Publishers, převzaté do Ryan, T. A., Joiner, B. L. a Ryan, B. F. (1976): The Minitab Student Handbook, Duxbury Press. Tabulku šíří základní balíček R datasets pod licencí GPL-2 nebo GPL-3; soubor stromy.csv je její nezměněná kopie. Stejnou tabulku si můžete vytvořit sami:

# Tabulka je součástí základní instalace R
data_stromy_zdroj <-
  as.data.frame(x = datasets::trees)

# Kontrola: 31 stromů, 3 sloupce a žádné chybějící hodnoty
dim(x = data_stromy_zdroj)
sum(is.na(x = data_stromy_zdroj))

# Uložíme tabulku do složky data jako soubor CSV
write.csv(
  x = data_stromy_zdroj,
  file = "data/stromy.csv",
  row.names = FALSE
)

19 Vystihne společný sklon nízké i vysoké stromy?

U krabů jsme kreslili jednu přímku pro každé pohlaví. Výška je však číslo a žádné skupiny nemá. Abychom viděli, jak vypadá vztah objemu a průměru u různě vysokých stromů, rozdělíme stromy jen pro kreslení do čtyř výškových pásem se zhruba stejným počtem stromů. Každý panel ukazuje stromy jednoho pásma. Do modelu pásma nevstupují: model dál pracuje s výškou jako s číslem.

Začneme známým aditivním modelem z minulé lekce, který má dva číselné prediktoryProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. spojené znakem +:

# Aditivní model: jeden společný sklon průměru pro všechny výšky
mod_aditivni <-
  lm(
    formula = objem_m3 ~ prumer_cm + vyska_m,
    data = data_stromy
  )
coef(object = mod_aditivni)

(Intercept)   prumer_cm     vyska_m 
-1.64202494  0.05248820  0.03151742

Přímka v každém panelu je předpověď modelu pro střední výšku daného pásma (mediánHodnota rozdělující seřazená data na dvě stejně početné poloviny; 50. percentil.: 21,0; 22,9; 24,4; 25,3 m) a vede jen přes průměry kmenů pozorované v tomto pásmu. V pásmech je 9, 7, 8, 7 stromů.

Čtyři panely vedle sebe, jeden pro každé výškové pásmo stromů od nejnižšího vlevo po nejvyšší vpravo; v každém je objem dřeva proti průměru kmene a fialová přímka aditivního modelu se stejným sklonem ve všech panelech. V nejnižším pásmu leží tenké kmeny nad přímkou a tlusté pod ní, v nejvyšším pásmu naopak.

Co v panelech vidíte?

Mají přímky ve všech panelech stejný sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).? Leží body nejnižších a nejvyšších stromů kolem svých přímek stejně?

Možná odpověď

Přímky jsou rovnoběžné: aditivní model dává všem výškám společný sklon 0,052 m³ na 1 cm průměru. V nejnižším pásmu však tenké kmeny leží nad přímkou a tlusté pod ní, takže body stoupají pozvolněji než přímka. V nejvyšším pásmu je to naopak a body stoupají strměji. Společný sklon tedy zřejmě nevystihuje nízké ani vysoké stromy.

20 Model s interakcí dovolí, aby se sklon průměru měnil s výškou

Stejně jako u krabů zapíšeme interakciSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru. hvězdičkou. Rozdíl je jen v tom, že druhý prediktorProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. je číslo: interakční člen prumer_cm:vyska_m dovolí, aby se sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). průměru plynule měnil s výškou stromu.

# Hvězdička dovolí, aby sklon průměru závisel na výšce
mod_stromy <-
  lm(
    formula = objem_m3 ~ prumer_cm * vyska_m,
    data = data_stromy
  )
coef(object = mod_stromy)

      (Intercept)         prumer_cm           vyska_m prumer_cm:vyska_m 
      1.965081588      -0.065283022      -0.120502790       0.004925111

Model má opět čtyři koeficienty. Jejich význam rozebereme v další části; nejprve se podíváme, jaké přímky z nich vzniknou.

Na stejné panely nyní nakreslíme přímky modelu s interakcí. Šedá přerušovaná čára opakuje v každém panelu přímku nejnižšího pásma, aby bylo vidět, jak se sklon s výškou mění.

Stejné čtyři panely stromů s fialovými přímkami modelu s interakcí a šedou přerušovanou přímkou nejnižšího pásma v každém panelu; od nejnižšího k nejvyššímu pásmu je fialová přímka stále strmější a vzdaluje se od šedé.

Jak strmá je přímka při určité výšce? Sklon průměru složíme ze dvou koeficientů z výpisu coef(), z řádku prumer_cm a z interakčního řádku prumer_cm:vyska_m:

\[ \begin{aligned} \text{sklon průměru při zvolené výšce} &= \text{koeficient průměru} \\ &\quad + \text{interakční koeficient} \times \text{zvolená výška} \end{aligned} \]

Při výšce 21 m dosadíme:

\[ \text{sklon průměru} = \text{−0,0653} + \text{0,00493} \cdot 21 \approx \text{0,038}\,\text{m}^3 \text{ na 1 cm} \]

Stručně \(\beta_1 + \beta_3 v\), kde \(v\) je zvolená výška v metrech. Koeficienty číslujeme v pořadí výpisu: \(\beta_0\) je intercept, \(\beta_1\) řádek prumer_cm, \(\beta_2\) řádek vyska_m a \(\beta_3\) řádek prumer_cm:vyska_m. Stejně dostaneme při výškách 21, 23, 25 m sklony 0,038; 0,048; 0,058 m³ na 1 cm. S každým metrem výšky navíc přibude ke sklonu 0,0049 m³ na 1 cm; to je hodnota interakčního koeficientu.

Stejné sklony ukážou i přímé předpovědi. Zvolíme dva průměry a dvě výšky, které leží uvnitř pozorovaných dat, a pro každou kombinaci spočteme odhad objemu:

# Zvolené průměry a výšky leží uvnitř pozorovaných rozsahů
prumery_porovnani_cm <- c(28, 36)
vysky_porovnani_m <- c(21, 25)

# Každá kombinace průměru a výšky dostane jeden řádek
data_porovnani_stromy <-
  expand.grid(
    prumer_cm = prumery_porovnani_cm,
    vyska_m = vysky_porovnani_m
  )
data_porovnani_stromy$objem_odhad_m3 <-
  predict(
    object = mod_stromy,
    newdata = data_porovnani_stromy
  )
data_porovnani_stromy

  prumer_cm vyska_m objem_odhad_m3
1        28      21      0.5025637
2        36      21      0.8077182
3        28      25      0.5721650
4        36      25      1.0349230

Stejný rozdíl v průměru, různý rozdíl v objemu

Kmen o průměru 36 cm místo 28 cm znamená podle modelu u stromu vysokého 21 m o 0,31 m³ dřeva více, u stromu vysokého 25 m o 0,46 m³ více. Po vydělení 8 cm dostaneme právě sklony průměru při těchto výškách.

21 Co znamená koeficient průměru, když se sklon mění s výškou?

Vraťme se ke čtyřem koeficientům z výpisu coef(object = mod_stromy):

(Intercept) je odhadČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. objemu stromu s průměrem 0 cm a výškou 0 m. Takový strom neexistuje; číslo samo o sobě nevykládáme.
prumer_cm je sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). průměru při výšce 0 m: −0,065 m³ na 1 cm. Záporná hodnota neznamená, že by tlustší kmen měl méně dřeva; platí pro výšku, kterou žádný změřený strom nemá.
vyska_m je obdobně sklon výšky při průměru 0 cm: −0,121 m³ na 1 m. Ani tento koeficient sám nevykládáme.
prumer_cm:vyska_m je interakční členSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru.: o 0,0049 m³ na 1 cm se zvětší sklon průměru, když je strom o 1 m vyšší.

Koeficient průměru neplatí při každé výšce

U dvou číselných prediktorůProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. leží hodnota 0 často daleko mimo data. Hlavní koeficient pak popisuje situaci, kterou jsme nepozorovali. Sklon jednoho prediktoru proto vždy uvádíme při zvolené hodnotě druhého uvnitř pozorovaného rozsahu.

Interakci lze číst i obráceně. Stejný koeficient říká, o kolik se zvětší sklon výšky (m³ dřeva na 1 m výšky), když je kmen o 1 cm tlustší. U stromu s průměrem 28 cm přibude podle modelu na každý metr výšky 0,017 m³ dřeva, u stromu s průměrem 36 cm 0,057 m³. Obě věty popisují tutéž vlastnost modelu.

Jak přesně interakční koeficient známe, ukáže 95% interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr.:

# Interval patří změně sklonu průměru na 1 m výšky
confint(
  object = mod_stromy,
  parm = "prumer_cm:vyska_m"
)

                        2.5 %      97.5 %
prumer_cm:vyska_m 0.003095651 0.006754571

Interval pro změnu sklonu průměru (m³ na 1 cm průměru) při zvýšení stromu o 1 m sahá od 0,0031 do 0,0068. Celý leží nad nulou: při předpokladech modelu tedy data podporují strmější vztah objemu a průměru u vyšších stromů. Platí to pro 31 změřených stromů a v pozorovaném rozsahu průměrů a výšek.

V tomto krátkém příkladu jsme nekontrolovali residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. ani vliv jednotlivých stromů, jako jsme to udělali u krabů; 31 stromů je pro takovou kontrolu malý soubor. Objem kmene navíc roste zhruba s druhou mocninou průměru, takže část rozdílu mezi panely by mohl popsat i zakřivený vztah. Přímky zde proto čteme jako jednoduchý popis v pozorovaném rozsahu, ne jako jediný možný model.

22 Kdy musíme při výkladu jednoho prediktoru uvést hodnotu druhého?

První příklad vyjádřil interakciSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru. jako změnu rozdílu v šířce mezi pohlavími při různých délkách: dva sklonyParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). nemusí být stejné. Druhý příklad ji vyjádřil jako změnu rozdílu v délce mezi pohlavími u dvou barevných forem: dvě srovnání samce se samicí nemusí dát stejný výsledek. Třetí příklad ji vyjádřil jako plynulou změnu sklonu průměru s výškou stromu: s každým metrem výšky je přímka o něco strmější. Ve všech třech případech musíme při výkladu jednoho prediktoruProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. uvést hodnotu nebo úroveň druhého: ptáme se „při jaké délce?“, „v jaké barevné formě?“ nebo „při jaké výšce?“.

Doplňující: interakce závisí na měřítku odezvy

V příkladech s kraby popisujeme odezvuProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. v milimetrech, takže interakce znamená změnu rozdílu v milimetrech. Jiná biologická otázka se může ptát na poměr: například zda jsou samci v obou formách o stejných 10 % delší než samice. Stejný procentní poměr může při různých průměrechSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). vytvářet různé rozdíly v milimetrech.

Poměry a součiny se na logaritmickém měřítku mění v rozdíly a součty. Příklad se stromy to ukazuje na skutečných datech. Objem kmene je zhruba úměrný druhé mocnině průměru krát výšce, tedy součinu. Když objem, průměr i výšku nahradíme jejich logaritmy (transformaceMatematická operace použitá na hodnoty proměnné s cílem splnit předpoklady modelu nebo zlepšit linearitu vztahu., ke které se vrátíme v lekci o tvaru rozdělení), změní se tento součin v součet a model bez interakce by mohl stačit. Interakční koeficient takového modelu má 95% interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. od −1,19 do 1,74. Interval je široký a zahrnuje nulu, takže na logaritmickém měřítku data interakci nedokládají, ačkoli v krychlových metrech ji ukazují zřetelně.

Tvrzení „interakce existuje“ proto není úplné bez uvedení měřítka modelu. V lekci o binárních a početních odezvách se setkáme s modely, které používají jiné měřítko než přímé milimetry; interakční koeficient se pak nejprve interpretuje na tomto modelovém měřítku a potom pomocí předpovědí v biologicky srozumitelných jednotkách.

23 Co tedy můžeme říct o krabech a stromech?

Vraťme se k hlavní otázce: Je rozdíl v zadní šířce krunýře mezi stejně dlouhou samicí a samcem stejný u menších i větších krabů?

U změřených krabů modré formy není. Zadní šířka roste s délkou u obou pohlaví, ale u samic rychleji: o 0,407 mm na 1 mm délky, u samců o 0,282 mm. Rozdíl samec minus samice se proto mění o −0,124 mm na každý milimetr délky (95% interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. −0,151 až −0,098 mm/mm). Při délce 30 mm má samec podle modelu zadní šířku o 1,76 mm menší než stejně dlouhá samice. Graf residuí neukázal zakřivení, které by dvě přímky přehlédly.

Výsledek odpovídá biologickému očekávání z úvodu, že samice mají s rostoucí velikostí relativně širší zadní část krunýře. Data však jsou pozorovací a není doloženo, že krabi byli vybráni náhodně: popisují souvislost u těchto 100 krabů a v pozorovaném rozsahu délek, nikoli příčinu. Druhý příklad ukázal, že stejná logika platí pro dvě skupinové proměnné: rozdíl v délce mezi pohlavími byl u oranžové formy o 4,84 mm menší než u modré, ale průměrnéSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). délky závisejí i na tom, které kraby autoři vybrali.

Třetí příklad přenesl stejnou myšlenku na dva číselné prediktoryProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x.. U 31 změřených stromů byl vztah objemu a průměru tím strmější, čím byl strom vyšší: při 21 m přidal kmen o 8 cm tlustší podle modelu 0,31 m³ dřeva, při 25 m 0,46 m³. Na původním měřítku objemu to odpovídá očekávání z tvaru kmene; platí to jen v pozorovaném rozsahu průměrů a výšek.

24 Co bude následovat dál

Aditivní model a model s interakcí jsou dva kandidátní popisy téhož vztahu. Model s interakcí je pružnější, ale má více parametrů a jeho koeficienty se vykládají složitěji. V následující lekci se budeme ptát, jak mezi několika předem biologicky zdůvodněnými modely vybrat ten, který data popisuje dostatečně dobře bez zbytečné složitosti.

25 Shrnutí

Interakce prediktorůSituace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru. znamená, že vztah jednoho prediktoruProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. k odezvěProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. závisí na hodnotě nebo úrovni druhého; potřebu interakce má podpořit biologická otázka i graf.
x * y je zkratka pro x + y + x:y; interakční člen u číselného a skupinového prediktoru popisuje rozdíl sklonůParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů)..
Hlavní koeficienty v modelu s interakcí jsou podmíněné: platí při nulové hodnotě druhého prediktoru nebo v referenční skupině. Skupiny proto porovnáváme pomocí předpovědí při zvolené hodnotě.
U dvou skupinových prediktorů je interakce rozdíl dvou rozdílů.
U dvou číselných prediktorů interakce znamená, že se sklon jednoho plynule mění s hodnotou druhého; sklon proto uvádíme při zvolených hodnotách uvnitř dat.
Závěr omezujeme na pozorovaný rozsah dat, na způsob jejich získání a na souvislost, nikoli příčinu.

25.1 Závěrečná otázka

Uveďte biologickou otázku, u které byste čekali, že vztah dvou znaků závisí na skupině nebo na hodnotě jiného znaku. Jak by vypadal graf?

Možné odpovědi

Například vztah hmotnosti a délky těla u ryb z teplé a studené vody: v teplejší vodě mohou ryby s rostoucí délkou přibírat rychleji, takže přímky by se rozbíhaly. Nebo vztah dávky hnojiva a výnosu u dvou odrůd plodiny, z nichž jedna na hnojivo reaguje silněji. V obou případech by bodový grafGraf vztahu dvou numerických proměnných, v němž každý bod představuje jedno pozorování a jeho dvě hodnoty určují polohu na osách. ukázal dvě skupiny bodů s různým sklonem a aditivní model s rovnoběžnými přímkami by takový rozdíl nezachytil.

Místo skupiny může vztah měnit i další číselný znak: například růst semenáčků s teplotou může být strmější ve vlhčí půdě. Graf by pak měl několik panelů pro různou vlhkost půdy a přímka růstu proti teplotě by byla s rostoucí vlhkostí strmější.

Slovníček pojmů

Pojmy použité v těchto materiálech a jejich definice. Úplný průběžně aktualizovaný slovníček je dostupný také online.

term	definition
bodovy-graf	Graf vztahu dvou numerických proměnných, v němž každý bod představuje jedno pozorování a jeho dvě hodnoty určují polohu na osách.
diagnostika-modelu	Soubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů.
interakce-predikatoru	Situace, kdy efekt jednoho prediktoru na odezvu závisí na hodnotě jiného prediktoru.
intercept	Parametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y).
interval-spolehlivosti	Rozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr.
kategoricka-promenna	Proměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím).
korelace	Bezrozměrné číslo popisující směr a těsnost vztahu dvou proměnných; Pearsonova korelace shrnuje lineární vztah a Spearmanova monotónní vztah podle pořadí.
linearni-model	Statistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε).
median	Hodnota rozdělující seřazená data na dvě stejně početné poloviny; 50. percentil.
nejistota	Rozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb.
numericka-promenna	Proměnná, jejíž hodnoty jsou čísla se smysluplnou velikostí nebo rozdílem; může být diskrétní, například počet, nebo spojitá, například délka.
odezva	Proměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu `y ~ x` je odezva `y`.
odhad	Číslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad.
odhadnuta-hodnota	Hodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ.
p-hodnota	Pravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data.
porovnani-modelu	Postup výběru nejlepšího modelu z množiny kandidátů pomocí kritérií jako AIC nebo likelihood ratio test.
prediktor	Proměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci `y ~ x` je prediktor `x`.
promenna	Vlastnost zaznamenaná u pozorování, která může mezi pozorováními nabývat různých hodnot, například druh, délka nebo počet.
prumer	Součet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty).
residuum	Rozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.
rezidualni-smerodatna-odchylka	Odhad typické velikosti residuí v jednotkách odezvy; popisuje rozptýlení pozorování kolem hodnot odhadnutých modelem.
rozptyl	Průměr čtverců odchylek od průměru; míra variability dat. Odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka.
sklon	Parametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).
transformace	Matematická operace použitá na hodnoty proměnné s cílem splnit předpoklady modelu nebo zlepšit linearitu vztahu.
vyber	Soubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces.