Liší se průměrná hmotnost těla mezi druhy tučňáků?

Logo kurzu Biostatistika BIOSTATISTIKA

L06

Když prediktor není číslo: od dvou průměrů k analýze rozptylu

cuni-natur-biostatistics.github.io/materialy.html

Tři skupiny tučňáků na ledu u fialových praporků; tučňáci oslí a jejich praporek stojí na vyšším ledovém bloku než tučňáci kroužkoví a uzdičkoví. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Ilustrace vytvořená pomocí AI. Anatomická reference: Allison Horst, CC0.

Liší se průměrná hmotnost mezi druhy tučňáků?

Kreslené ilustrace tří druhů tučňáků: tučňák uzdičkový, tučňák oslí a tučňák kroužkový.


Biologická otázka

Je rozdíl mezi druhy větší, než bychom čekali od variability jednotlivých tučňáků?

Ilustrace: Allison Horst · Data: Palmer Station LTER / palmerpenguins

Co si pamatujete z minulé lekce?

Odpovězte samostatně na tři krátké otázky. Na telefonu neuvidíte odpovědi ostatních; společné výsledky otevřeme až po hlasování.

QR kód otevírající anonymní dotazník PollsLive se třemi otázkami.

Otevřít dotazník v novém okně

Jak odpovídala skupina?

Otevřít výsledky mimo prezentaci

Která věta správně čte malou p-hodnotu?

Nulové t-rozdělení se zvýrazněnými oběma chvosty za stejně extrémními hodnotami, jako je pozorovaná statistika.

  • Nulová hypotéza má malou pravděpodobnost, že je pravdivá.
  • Pokud platí nulový model, výsledek alespoň tak extrémní jako náš by byl velmi neobvyklý.
  • Biologický efekt musí být velký.
  • Studie dokázala příčinný vztah.

Správná odpověď: Pokud platí nulový model, výsledek alespoň tak extrémní jako náš by byl velmi neobvyklý.

P-hodnota je podmíněná nulovým modelem. Neudává pravděpodobnost hypotézy ani velikost či biologický význam efektu.

Test označí efekt, ačkoli ve skutečnosti žádný systematický efekt není. Jaký typ chyby nastal?

Ilustrace falešně pozitivního rozhodnutí: test hlásí efekt, přestože v popsaném světě systematický efekt není.

  • Chyba I. typu
  • Chyba II. typu
  • Bezchybný závěr
  • Výběrová variabilita nemůže takový výsledek vytvořit

Správná odpověď: Chyba I. typu

Chyba I. typu je falešně pozitivní rozhodnutí: zamítneme nulovou hypotézu, přestože v popsaném světě platí.

Který závěr je vědecky nejúplnější?

Výsledková karta uvádí kladný odhad změny šířky krunýře, 95% interval a upozornění na observační omezení studie.

  • P-hodnota je malá, proto je vztah biologicky důležitý.
  • Nulová hypotéza je nepravdivá s pravděpodobností odpovídající p-hodnotě.
  • Ve sledovaných lokalitách se šířka krunýře směrem k severu zvětšovala; uvedeme odhad s intervalem a připomeneme observační omezení.
  • Nevýznamný výsledek by dokazoval, že žádný efekt neexistuje.

Správná odpověď: Ve sledovaných lokalitách se šířka krunýře směrem k severu zvětšovala; uvedeme odhad s intervalem a připomeneme observační omezení.

Závěr začíná efektem v biologických jednotkách, doplní nejistotu a důkaz a respektuje rozsah observačních dat.

Výsledky učení


Po absolvování této přednášky budete schopni:

  • fitovat lm(y ~ skupina) pro dvě i více skupin a přečíst jeho koeficienty;
  • interpretovat intercept jako průměr referenční skupiny a další koeficienty jako rozdíly vůči ní;
  • vysvětlit dvouvýběrový t-test a ANOVA jako otázky položené lineárnímu modelu;
  • rozlišit celkový F-test od post-hoc porovnání dvojic a rozhodnout, kdy párová porovnání dávají smysl;
  • napsat závěr v biologicky smysluplných jednotkách: rozdíl, nejistota, test a omezení studie.

Stejná logika, jiný typ prediktoru

Efekt, nejistotu a důkaz čteme stejně jako u přímky. Mění se jen prediktor: místo čísla je to skupina.

Jak těžcí jsou tučňáci?

Šedé body hmotností všech tučňáků v jednom sloupci s obrysem rozdělení a krabicovým grafem; hodnoty sahají přibližně od tří do šesti a půl kilogramu.

Co by mohlo vytvářet tak široký rozsah hodnot?

Barva odkryje skupiny

Stejné hmotnosti rozdělené do tří sloupců podle druhu: Adélie a Chinstrap leží podobně vysoko, Gentoo výrazně výše; uvnitř každého druhu se jedinci liší o stovky gramů.

Vidíme rozdíly mezi skupinami i variabilitu uvnitř skupin.

Co by předpovídala nulová hypotéza?


Hlasování

Kdyby druh s hmotností nesouvisel, jaký vzorec bychom čekali?


A

Stejný průměr, žádná variabilita.

B

Stejný průměr, variabilita zůstává.

C

Jiný průměr pro každý druh.

Průměr neříká celý příběh

Hmotnosti tří druhů s bílým bodem průměru a bílou úsečkou průměr plus minus jedna směrodatná odchylka u každého druhu.

Bílý bod: průměr druhu · bílá úsečka: průměr ± 1 SD

Rozdíl průměrů hodnotíme vůči variabilitě jednotlivých pozorování.

Rozdíl mezi dvěma skupinami

Dvě vzdálenosti na jedné kře

Dvě skupiny tučňáků na ledových krách: jedna stojí těsně u sebe, druhá je rozptýlená kolem svého praporku. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

uvnitř skupin: jak daleko jsou jedinci od vlastního průměru

mezi skupinami: jak daleko jsou skupinové průměry od sebe

Stejný rozdíl průměrů, jiný vnitřní rozptyl

Odhad bez počítání

Dvě vymyšlené skupiny A a B. Rozdíl průměrů je vždy 1 000 g. Ve kterém panelu máme největší šanci zamítnout nulovou hypotézu?

Tři panely se dvěma skupinami bodů A a B se stejným rozdílem průměrů; zleva doprava roste směrodatná odchylka uvnitř skupin a skupiny se stále více překrývají.

Lineární model

Jak jsme minule zapisovali numerický prediktor?


\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hodnota }(\widehat{y}_i) ={}& \text{intercept }(\widehat{\beta}_0) \\ &+ \text{sklon }(\widehat{\beta}_1) \times \text{numerický prediktor }(x_i) \end{aligned} \]

V lekci o lineárním modelu jsme stejné koeficienty psali jako \(a\) a \(b\): \(\widehat{\beta}_0 = a\), \(\widehat{\beta}_1 = b\).


Když \(x=0\)

\(\widehat{y}=\widehat{\beta}_0\)

Když \(x=1\)

\(\widehat{y}=\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1\)


Co když 0 a 1 nejsou naměřená čísla, ale „přepínač“ (vypnout / zapnout)?

Jak dostaneme druh do rovnice?


Diskuze ve dvojici — 90 sekund

Jak by se dal „přepínač“ (0/1) nastavit, aby vybral mezi dvěma druhy?


Druh Přepínač „je Gentoo?“
Adélie 0
Gentoo 1

Nula nechá průměr Adélie, jednička přičte rozdíl

\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hmotnost} ={}& \text{průměr Adélie} \\ &+ \text{přepínač „je Gentoo?“} \\ &\quad \times \text{rozdíl Gentoo minus Adélie} \end{aligned} \]

Průměr Adélie: 3 701 g · Průměr Gentoo: 5 076 g · Rozdíl Gentoo − Adélie: 1 375 g

Adélie: přepínač 0

\[ 3\,701\ \mathrm{g} + 0 \times 1\,375\ \mathrm{g} = 3\,701\ \mathrm{g} \]

Gentoo: přepínač 1

\[ 3\,701\ \mathrm{g} + 1 \times 1\,375\ \mathrm{g} = 5\,076\ \mathrm{g} \]

Nula rozdíl vypne. Jednička ho zapne.

Jedna rovnice popíše oba druhy


\[ \widehat{y}_i = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_1 x_i \]


Symbol Význam v našich datech
\(\widehat{y}_i\) odhadnutá hmotnost tučňáka \(i\)
\(\widehat{\beta}_0\) průměr referenčního druhu Adélie
\(\widehat{\beta}_1\) rozdíl Gentoo minus Adélie
\(x_i\) přepínač: 0 pro Adélie, 1 pro Gentoo

Stejná rovnice jako pro numerický prediktor, jen interpretace koeficientů se liší.

Referenční druh

Tři tučňáci u registračního místa; jeden představuje referenční skupinu a cesty k ostatním znázorňují rozdíly vůči ní. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Model zapisuje jednu skupinu (druh) přímo a ostatní jako rozdíly vůči ní.

Která skupina je referenční?


# Ponecháme dva druhy a odstraníme nevyužitou úroveň Chinstrap
data_penguins_two <-
  data_penguins[data_penguins$druh %in% c("Adelie", "Gentoo"), ]
data_penguins_two$druh <- droplevels(data_penguins_two$druh)

# První úroveň faktoru je reference
levels(x = data_penguins_two$druh)
[1] "Adelie" "Gentoo"


První úroveň

Adelie je reference.

Výsledek

R vytvoří koeficient druhGentoo.


Pořadí úrovní faktoru je součást interpretace modelu.

Stejná funkce lm(), nový prediktor


# Stejná formule jako u přímky, jen prediktorem je druh
mod_dva <-
  lm(
    formula = hmotnost_tela_g ~ druh,
    data = data_penguins_two
  )

# Intercept a rozdíl Gentoo minus Adélie
coef(object = mod_dva)
(Intercept)  druhGentoo 
   3700.662    1375.354

Dva koeficienty


Parametr Odhad Jednotka
Průměr Adélie 3 701 g
Gentoo − Adélie 1 375 g


(Intercept)

3 701 g

Průměrná hmotnost druhu Adélie.

druhGentoo

+1 375 g

Rozdíl Gentoo − Adélie.


Gentoo: 5 076 g = reference + rozdíl.

Reference není „nejdůležitější“ skupina


Hlasování

Změníme referenci z Adélie na Gentoo. Co se musí změnit?


A

Odhadnuté hodnoty (průměry druhů).

B

Hodnota interceptu a název i znaménko rozdílu.

C

Residua.


Reference mění souřadný systém popisu — ne data ani odhadnuté hodnoty modelu.

U kontrolních studií je reference zásadní


Skupina Koeficient Význam
kontrola \(\widehat{\beta}_0\) průměr kontroly
lék A \(\widehat{\beta}_1\) A − kontrola
lék B \(\widehat{\beta}_2\) B − kontrola


Je-li kontrola referencí, každý koeficient odpovídá přirozené otázce „oproti kontrole“.

Ale reference nevytváří kontrolu


Pozor na interpretaci

Příkaz relevel() pouze změní, kterou skupinu model používá jako výchozí.

Nevytváří randomizaci, kontrolní podmínky ani kauzální důkaz.

data_pokus <-
  data.frame(
    skupina = factor(c("kontrola", "lék A", "lék B"))
  )

data_pokus$skupina <-
  relevel(
    x = data_pokus$skupina,
    ref = "kontrola"
  )

Kontrolní skupinu vytváří design studie. Reference pouze zpřehlední otázku.

Každý tučňák dostane průměr svého druhu

Body hmotností Adélie nad hodnotou 0 a Gentoo nad hodnotou 1, každá skupina s vodorovnou úsečkou svého průměru.

Odhadnutá hodnota každého tučňáka je průměr jeho druhu.

Residuum je stále vzdálenost od odhadu

Několik tučňáků každého druhu se svislými úsečkami od bodu k průměru jeho druhu; úsečky jsou residua.

Pro přehlednost 18 náhodně vybraných tučňáků z každého druhu.

Jiný tvar prediktoru, stejná definice residua.

Jak přesně jsme odhadli rozdíl?

Fialový bod odhadu rozdílu Gentoo minus Adélie s oranžovou úsečkou 95% intervalu spolehlivosti; celý interval leží daleko vpravo od čárkované nuly.

Odhad: +1 375 g

95% CI: 1 261 až 1 490 g

Je rozdíl slučitelný s nulou?

\(H_0\): průměr Gentoo − průměr Adélie = 0 g (\(\beta_1 = 0\))

\(H_A\): průměr Gentoo − průměr Adélie ≠ 0 g (\(\beta_1 \neq 0\))


\(t\)-statistika: vzdálenost od nuly ve standardních chybách

\[ t = \frac{\text{odhad rozdílu} - 0}{\text{standardní chyba rozdílu}} = \frac{1\,375 - 0}{\text{58,2}} = \text{23,61} \]


Pro dvě skupiny dává tento model stejnou testovou otázku jako klasický dvouvýběrový t-test se společným rozptylem.

Kde leží naše \(t\) v nulovém rozdělení?

Dva panely t-rozdělení: vlevo zvonovitá křivka kolem nuly, vpravo stejná křivka na široké ose s oranžovými čárkovanými čarami pozorovaného t a jeho zrcadlové hodnoty daleko v obou ocasech.

\(p\)-hodnota <0,001 je plocha v obou ocasech ještě dál od nuly než pozorované \(t\).

Rozdíl, nejistota a test v jedné tabulce

Srovnání Odhad (g) Std. chyba (g) t p
Gentoo − Adélie 1 375 58,2 23,61 <0,001

Odhad rozdílu čteme spolu s jeho nejistotou a důkazem proti nulové hypotéze.

Co můžeme říci biologicky?


Řekněte sousedovi jednou větou

Co tento výsledek znamená pro tučňáky? Začněte gramy, ne p-hodnotou.


Výsledek

V tomto souboru jsou tučňáci Gentoo v průměru o přibližně 1 375 g těžší než tučňáci Adélie (95% CI 1 261 až 1 490 g).


Rozsah závěru

Jde o asociaci v pozorovaných datech.

Více skupin

Co se stane, když přidáme třetí druh?


Předpověď

Kolik koeficientů potřebujeme pro tři skupinové průměry?


A

Jeden

B

Dva

C

Tři


tři průměry = jeden referenční (intercept) + dva rozdíly

Tři druhy, tři průměry

Hmotnosti tří druhů s bílým bodem průměru: průměry Adélie a Chinstrap leží téměř stejně vysoko, průměr Gentoo výrazně výše.

Adélie a Chinstrap mají podobné průměry; Gentoo je zřetelně výše.

Tři průměry potřebují dva přepínače


Druh Referenční průměr Adélie Je Chinstrap? Je Gentoo?
Adélie 1 0 0
Chinstrap 1 1 0
Gentoo 1 0 1


Každý řádek říká, které rozdíly se mají přičíst k průměru Adélie.

Tři průměry potřebují dva přepínače



\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hmotnost} ={}& \text{průměr Adélie} \\ &+ \text{přepínač Chinstrap} \times \text{rozdíl Chinstrap minus Adélie} \\ &+ \text{přepínač Gentoo} \times \text{rozdíl Gentoo minus Adélie} \end{aligned} \]

Tři koeficienty z jednoho modelu

# Stejná formule jako u dvou druhů, jen na všech třech druzích
mod_tri <-
  lm(
    formula = hmotnost_tela_g ~ druh,
    data = data_penguins
  )
Parametr Odhad Jednotka
Průměr Adélie 3 701 g
Chinstrap − Adélie 32 g
Gentoo − Adélie 1 375 g

Jeden referenční průměr a dva rozdíly popisují všechny tři skupiny.

Každý druh zapne jinou kombinaci

Základ: průměr Adélie = 3 701 g

Rozdíly: Chinstrap − Adélie = 32 g; Gentoo − Adélie = 1 375 g

Adélie

3 701 g + 0 × 32 g + 0 × 1 375 g = 3 701 g

Chinstrap

3 701 g + 1 × 32 g + 0 × 1 375 g = 3 733 g

Gentoo

3 701 g + 0 × 32 g + 1 × 1 375 g = 5 076 g

Jedna rovnice popíše všechny tři druhy


\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hmotnost} ={}& \text{průměr Adélie} \\ &+ \text{přepínač Chinstrap} \times \text{rozdíl Chinstrap minus Adélie} \\ &+ \text{přepínač Gentoo} \times \text{rozdíl Gentoo minus Adélie} \end{aligned} \]


\[ \widehat y_i = \widehat\beta_0 + \widehat\beta_1 x_{\mathrm{Chinstrap},i} + \widehat\beta_2 x_{\mathrm{Gentoo},i} \]


\(x_{\mathrm{Chinstrap},i}\) a \(x_{\mathrm{Gentoo},i}\) jsou přepínače 0/1 pro tučňáka \(i\). \(\widehat\beta_0\) je průměr Adélie; \(\widehat\beta_1\) a \(\widehat\beta_2\) jsou rozdíly vůči Adélie.


Pro tři skupiny potřebujeme jeden referenční průměr a dva rozdílové přepínače.

Sedí model k datům?

Panel A: residua proti odhadnuté hmotnosti; body Adélie a Chinstrap tvoří společný svislý pás vlevo, body Gentoo pás vpravo, oba podobně široké kolem nuly. Panel B: Q–Q graf, body leží téměř na referenční přímce.

Vidíme systematický vzorec, extrémní bod nebo výrazně odlišný rozptyl skupin?

Pásy Adélie a Chinstrap splývají, protože se jejich průměry liší jen o 32 g. Šířka pásů je podobná a Q–Q body sledují přímku: model můžeme použít k testům.

Jedna otázka pro tři druhy

Jedna otázka zůstala otevřená

Liší se alespoň jeden skupinový průměr od ostatních?


Nechceme zatím tři samostatné testy. Chceme jednu celkovou otázku.


Porovnáme model s jedním průměrem (nulový) a model se třemi průměry.

Předpověď

Ve kterém modelu budou vzdálenosti tučňáků od průměru (residua) kratší? Stačí jakékoli zkrácení, nebo musí být velké?

Jeden nebo tři?

Tři skupiny tučňáků se nejprve orientují podle jednoho společného praporku a potom podle tří skupinových praporků. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

nulový model: jeden společný průměr

skupinový model: jeden průměr pro každý druh

Rozdíly průměrů proti variabilitě uvnitř skupin


Testová statistika porovnává variabilitu mezi skupinovými průměry s variabilitou jedinců uvnitř skupin.


\[ \frac{\text{variabilita mezi skupinovými průměry}}{\text{variabilita jedinců uvnitř skupin}} \]

Čitatel roste, když se vzdalují průměry. Jmenovatel roste, když se více rozptylují jedinci.

Součty čtverců ve třech skupinách

\[ \begin{aligned} \text{součet uvnitř skupin} &= \text{čtverce vzdáleností jedinců} \\ &\quad \text{od vlastního skupinového průměru} \end{aligned} \]


Tři vymyšlení tučňáci každého druhu jako body; vodorovná úsečka označuje průměr druhu a oranžové svislé úsečky vzdálenosti jedinců od něj.

Malý vymyšlený příklad: tři tučňáci na druh.

\[ \begin{aligned} \mathrm{SS}_{\text{Adélie}} &= (-300)^2 + (-100)^2 + (400)^2 = 260\,000 \\ \mathrm{SS}_{\text{Chinstrap}} &= (-400)^2 + (100)^2 + (300)^2 = 260\,000 \\ \mathrm{SS}_{\text{Gentoo}} &= (-600)^2 + (200)^2 + (400)^2 = 560\,000 \\ \mathrm{SS}_{\text{uvnitř}} &= 260\,000 + 260\,000 + 560\,000 \\ &= 1\,080\,000\ \mathrm{g}^2 \end{aligned} \]

Skupinové průměry měří rozdíl mezi skupinami

\[ \begin{aligned} \text{součet mezi skupinami} &= \text{velikosti skupin} \times \text{čtverce vzdáleností} \\ &\quad \text{skupinových průměrů od společného průměru} \end{aligned} \]

Průměry tří druhů jako body nad čárkovanou čarou společného průměru; fialové svislé úsečky měří vzdálenost každého skupinového průměru od společného průměru.

\[ 3 \times (-700)^2 + 3 \times (100)^2 + 3 \times (600)^2 = 2\,580\,000\ \mathrm{g}^2 \]

Celkový součet má dvě viditelné části


\[ \text{celkový součet čtverců} = \text{součet mezi skupinami} + \text{součet uvnitř skupin} \]


Vodorovný pruh celkového součtu čtverců rozdělený na fialovou část mezi skupinami a oranžovou část uvnitř skupin.

Dělením stupni volnosti získáme průměrné čtverce

\[ MS = \frac{SS}{\text{stupně volnosti}} \]


Mezi skupinami

\[ df = 3 - 1 = 2 \]

\[ MS_{\mathrm{mezi}} = \frac{2\,580\,000}{2} = 1\,290\,000\ \mathrm{g}^2 \]

Uvnitř skupin

\[ df = 9 - 3 = 6 \]

\[ MS_{\mathrm{uvnitř}} = \frac{1\,080\,000}{6} = 180\,000\ \mathrm{g}^2 \]

Tři průměry = jeden referenční + dva rozdíly; 9 tučňáků mínus 3 odhadnuté průměry.

Oba součty čtverců přepočítáme na variabilitu připadající na jeden stupeň volnosti.

Poměr průměrných čtverců je \(F\)


\[ F = \frac{MS_{\mathrm{mezi}}}{MS_{\mathrm{uvnitř}}} = \frac{1\,290\,000}{180\,000} = \text{7,17} \]


\(MS_{\mathrm{mezi}}\)

variabilita připadající na jeden stupeň volnosti mezi skupinami

\(MS_{\mathrm{uvnitř}}\)

variabilita připadající na jeden stupeň volnosti uvnitř skupin

Analýza se jmenuje ANOVA


ANOVA = analýza rozptylu


Název zdůrazňuje mechanismus: rozdíly mezi průměry posuzujeme pomocí rozptylu uvnitř skupin.


Model je stále lm(). ANOVA je test tohoto modelu.

Stejný vnitřní rozptyl, jiný rozdíl

Pořadí panelů

Seřaďte panely od nejslabšího po nejsilnější důkaz proti shodným průměrům.

Tři panely se dvěma vymyšlenými skupinami A a B se stejnou variabilitou uvnitř skupin; zleva doprava roste rozdíl jejich průměrů.

Celková otázka v R

# Celkový F-test pro mod_tri: jsou všechny tři průměry stejné?
anova(object = mod_tri)
Analysis of Variance Table

Response: hmotnost_tela_g
           Df    Sum Sq  Mean Sq F value    Pr(>F)    
druh        2 146864214 73432107  343.63 < 2.2e-16 ***
Residuals 339  72443483   213698                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

\(F(2, 339) = \text{343,6}\), \(p\)-hodnota < 0,001: data jsou obtížně slučitelná se shodou všech tří průměrů.

Kde leží naše \(F\) v nulovém rozdělení?

Dva panely F-rozdělení: vlevo křivka s většinou hodnot blízko jedné, vpravo stejná křivka na široké ose a oranžová čárkovaná čára pozorovaného F daleko vpravo.

\(p\)-hodnota je plocha napravo od pozorovaného \(F\); zde je tak malá, že ji v grafu téměř nevidíme.

Co nám malá \(p\)-hodnota říká?


Hlasování

Který závěr plyne přímo z celkového F-testu?


A

Všechny dvojice se liší.

B

Alespoň jeden průměr se liší.

C

Gentoo je příčinou rozdílu.


Celkový test neříká, které konkrétní dvojice se liší.

Stejné \(F\), jiný biologický rozdíl

Tři panely se dvěma vymyšlenými skupinami A a B; zleva doprava roste rozdíl průměrů i rozptyl uvnitř skupin ve stejném poměru.

Všechny panely mají \(F = \text{20}\). Jsou biologické závěry stejné?

Síla důkazu není velikost efektu


Stejné

  • poměr rozdílu k šumu;
  • \(F\)-statistika;
  • \(p\)-hodnota.

Jiné

  • rozdíl v gramech;
  • biologická relevance;
  • praktický závěr.


Vždy uvádějte odhad efektu a jeho interval — ne pouze \(p\)-hodnotu.

Které dvojice se liší?

Od celkové otázky ke dvojicím

Lupa zvýrazňuje dvojici ze tří tučňáků a připomíná přechod od celkové otázky ANOVA ke srovnání dvojic. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

ANOVA: „je někde rozdíl?“ → post-hoc porovnání: „mezi kterými dvojicemi?“

Ze stejného modelu


Post-hoc otázky čteme ze stejného fitovaného modelu. Nefitujeme tři nové modely.


1. Model

mod_tri

2. Odhadnuté průměry

emmeans() pro každý druh

3. Párové rozdíly

contrast() s Tukeyho úpravou

Kdy dávají párová porovnání smysl?


Dvě různé otázky položené stejnému modelu

  • Celkový F-test: jsou všechny průměry stejné?
  • Post-hoc porovnání: které dvojice se liší a o kolik gramů?


  • Smysl mají u tří a více skupin; u dvou skupin odpovídá koeficient modelu.
  • Tukeyho úprava sama zohlední, že porovnáváme více dvojic; nepotřebuje předchozí „významný“ F-test.
  • Malé rozdíly a nevýrazný F-test? Poctivý závěr je „nerozlišeno od nuly“, ne lovení jedné zajímavé dvojice.

Post-hoc v R

# Odhadnuté průměry druhů ze stejného modelu
prumery_emm <-
  emmeans::emmeans(
    object = mod_tri,
    specs = ~druh
  )

# Rozdíly všech tří dvojic s Tukeyho úpravou
post_hoc_tri <-
  emmeans::contrast(
    object = prumery_emm,
    method = "revpairwise",
    adjust = "tukey"
  )


specs vybírá skupinové průměry; adjust říká, že tři navazující otázky hodnotíme společně.

Výsledek post-hoc testu

summary(object = post_hoc_tri)
 contrast           estimate   SE  df t.ratio p.value
 Chinstrap - Adelie     32.4 67.5 339   0.480  0.8807
 Gentoo - Adelie      1375.4 56.1 339  24.495 <0.0001
 Gentoo - Chinstrap   1342.9 69.9 339  19.224 <0.0001

P value adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates

Tři rozdíly na jedné ose

Tři fialové body rozdílů s oranžovými úsečkami intervalů: interval Chinstrap minus Adélie protíná čárkovanou nulu, oba rozdíly s Gentoo leží daleko vpravo.

Tukeyho simultánní 95% intervaly: všechna tři porovnání jsou vyhodnocena společně.

Diskuse ve dvojici

Který interval obsahuje nulu? Proč to neodporuje výsledku celkového F-testu?

Co jsme zjistili?


Gentoo

Je v průměru asi o 1 343–1 375 g těžší než Adélie i Chinstrap.

Adélie vs. Chinstrap

Odhad rozdílu je jen asi 32 g a interval obsahuje nulu.


Významná (signifikantní) ANOVA neznamená, že se liší každá dvojice.

Závěr

Druh není celý příběh

Průměrná hmotnost samic a samců u tří druhů s 95% intervaly; u každého druhu jsou samci těžší než samice.

Bod: průměr · úsečka: 95% interval průměru

Model s jediným prediktorem odpovídá jedné otázce. Hmotnost souvisí s pohlavím a druh je navíc propojený s ostrovem: Chinstrap byli měřeni jen na ostrově Dream, Gentoo jen na Biscoe.

Co kdybychom přidali pohlaví nebo ostrov?

Tato lekce

Jeden kategoriální prediktor: druh.

Efekt: rozdíl průměrů vůči referenci.

Následující lekce

Více prediktorů v jednom modelu: například druh a pohlaví.

Efekt: rozdíl při zohlednění ostatních prediktorů.


Změní se odhad rozdílu mezi druhy, když budeme porovnávat tučňáky stejného pohlaví?

Shrnutí

  • Kategoriální prediktor vstupuje do lm() pomocí přepínačů 0/1.
  • Intercept je průměr referenční skupiny, ostatní koeficienty jsou rozdíly vůči ní.
  • Dvouvýběrový t-test je test koeficientu dvouskupinového modelu.
  • ANOVA porovnává variabilitu mezi skupinami s variabilitou uvnitř nich; celkový F-test neříká, která dvojice se liší.
  • Post-hoc porovnání odpovídají na otázky o konkrétních dvojicích a Tukeyho úprava zohlední, že jich je více.

Rozdíl v gramech → interval → test → omezení studie

Co potřebujete vědět, než napíšete „druh určuje hmotnost tučňáka“?


Jaké tři otázky položíte autorovi, který vám ukáže jen tuto větu a malou p-hodnotu ANOVA?


Řekněte sousedovi jednou větou

Kterou z otázek byste položili jako první, a proč?

Materiály

Data: Palmer Station LTER a palmerpenguins. Druhová ilustrace: Allison Horst. Ostatní ilustrace byly vytvořeny pomocí AI pro tuto lekci.