Když prediktor není číslo

Od rozdílu průměrů k analýze rozptylu

Publikováno

6. srpna 2026

Upraveno

9. října 2026

1 Úvod

Hlavní biologická otázka

Liší se průměrnáSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). hmotnost těla mezi druhy tučňáků?

V předchozí lekci jsme převáděli biologické tvrzení na nulovou hypotézuVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. o koeficientu známého modelu. PrediktoremProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. byla numerická proměnnáProměnná, jejíž hodnoty jsou čísla se smysluplnou velikostí nebo rozdílem; může být diskrétní, například počet, nebo spojitá, například délka. (zeměpisná šířka) a otázka zněla, zda je sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). slučitelný s nulou. V této lekci bude prediktorem kategoriální proměnnáProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím).: druh tučňáka.

Způsob uvažování zůstává stejný. Výsledek začíná jednotlivými pozorovánímiJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných., pokračuje rozdílem v gramech a jeho nejistotouRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb. a testová otázka jej pouze doplňuje.

2 Výsledky učení

Po prostudování této lekce dokážete:

fitovat lm(y ~ skupina) pro dvě i více skupin a přečíst jeho koeficienty;
interpretovat interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y). jako průměrSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). referenční skupiny a ostatní koeficienty jako rozdíly vůči této skupině;
vysvětlit dvouvýběrový t-testStatistický test porovnávající průměry dvou skupin (nebo průměr s konstantou); ekvivalent lineárního modelu se dvěma úrovněmi faktoru. a analýzu rozptylu (ANOVA)Statistický test porovnávající průměry tří a více skupin zároveň; testuje, zda se alespoň jedna skupina průměrem liší od ostatních. jako otázky položené lineárnímu modeluStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε).;
rozlišit celkový F-test od post-hoc porovnáníTest prováděný po signifikantní ANOVA k identifikaci, které konkrétní páry skupin se od sebe liší; opravuje p-hodnoty pro mnohonásobné porovnávání. dvojic a rozhodnout, kdy párová porovnání dávají smysl;
napsat závěr v biologicky smysluplných jednotkách: rozdíl, jeho nejistotaRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb., test a omezení studie.

3 Data: jeden řádek je jeden změřený tučňák

Data obsahují tělesná měření dospělých tučňáků tří druhů z Palmerova souostroví v Antarktidě. Jeden řádek představuje jednoho změřeného jedince. Naše odezvaProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. je hmotnost těla v gramech a kategoriálním prediktoremProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). je druh.

Kreslené ilustrace tří druhů tučňáků: tučňák uzdičkový, tučňák oslí a tučňák kroužkový. — Druhy tučňáků v datasetu Palmer Penguins a barvy, které pro ně budeme používat. Ilustrace: Allison Horst.

Stejně jako v lekci o grafech a typech proměnnýchVlastnost zaznamenaná u pozorování, která může mezi pozorováními nabývat různých hodnot, například druh, délka nebo počet. budeme tučňáka kroužkového (Adélie) zobrazovat oranžově, tučňáka uzdičkového (Chinstrap) fialově a tučňáka oslího (Gentoo) modrozeleně.

Tabulku načteme a známými funkcemi zjistíme, jaké hodnoty a datové typy obsahuje. str() ukáže strukturu tabulky a typ každé proměnné, summary() základní souhrny sloupců a colSums(is.na()) počet chybějících hodnot v každém sloupci.

# Načteme připravenou tabulku s jedním řádkem na tučňáka
data_tucnaci <-
  read.csv(
    file = "data/palmer_penguins.csv",
    na.strings = c("", "NA")
  )

# Zkontrolujeme strukturu a datové typy
str(data_tucnaci)

'data.frame':   344 obs. of  8 variables:
 $ druh             : chr  "Adelie" "Adelie" "Adelie" "Adelie" ...
 $ ostrov           : chr  "Torgersen" "Torgersen" "Torgersen" "Torgersen" ...
 $ delka_zobaku_mm  : num  39.1 39.5 40.3 NA 36.7 39.3 38.9 39.2 34.1 42 ...
 $ hloubka_zobaku_mm: num  18.7 17.4 18 NA 19.3 20.6 17.8 19.6 18.1 20.2 ...
 $ delka_kridla_mm  : int  181 186 195 NA 193 190 181 195 193 190 ...
 $ hmotnost_tela_g  : int  3750 3800 3250 NA 3450 3650 3625 4675 3475 4250 ...
 $ pohlavi          : chr  "male" "female" "female" NA ...
 $ rok              : int  2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 ...

# Prohlédneme si souhrny hodnot
summary(data_tucnaci)

     druh              ostrov          delka_zobaku_mm hloubka_zobaku_mm
 Length:344         Length:344         Min.   :32.10   Min.   :13.10    
 Class :character   Class :character   1st Qu.:39.23   1st Qu.:15.60    
 Mode  :character   Mode  :character   Median :44.45   Median :17.30    
                                       Mean   :43.92   Mean   :17.15    
                                       3rd Qu.:48.50   3rd Qu.:18.70    
                                       Max.   :59.60   Max.   :21.50    
                                       NA's   :2       NA's   :2        
 delka_kridla_mm hmotnost_tela_g   pohlavi               rok      
 Min.   :172.0   Min.   :2700    Length:344         Min.   :2007  
 1st Qu.:190.0   1st Qu.:3550    Class :character   1st Qu.:2007  
 Median :197.0   Median :4050    Mode  :character   Median :2008  
 Mean   :200.9   Mean   :4202                       Mean   :2008  
 3rd Qu.:213.0   3rd Qu.:4750                       3rd Qu.:2009  
 Max.   :231.0   Max.   :6300                       Max.   :2009  
 NA's   :2       NA's   :2

# Spočítáme chybějící hodnoty v každém sloupci
colSums(x = is.na(x = data_tucnaci))

             druh            ostrov   delka_zobaku_mm hloubka_zobaku_mm 
                0                 0                 2                 2 
  delka_kridla_mm   hmotnost_tela_g           pohlavi               rok 
                2                 2                11                 0

Tabulka má 344 řádků. Sloupec druh je zatím text (chr) a u 2 tučňáků chybí hmotnost. Hmotnost se pohybuje od 2 700 do 6 300 g, což jsou u dospělých tučňáků těchto druhů věrohodné hodnoty.

Model hmotnosti nemůže použít řádek, ve kterém hmotnost chybí: bez naměřené odezvyProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. nelze spočítat residuumRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.. Ponecháme proto jen tučňáky se změřenou hmotností. Ostatní chybějící položky (například pohlaví) zatím nevadí, protože je v modelu nepoužíváme. Sloupec druh zároveň převedeme na faktor, tedy kategoriální proměnnou s pevně daným pořadím úrovní. Toto pořadí bude později důležité pro čtení koeficientů.

# Ponecháme jen tučňáky se změřenou hmotností
data_tucnaci <-
  data_tucnaci[
    !is.na(data_tucnaci$hmotnost_tela_g),
  ]

# Druh převedeme na faktor s pevným pořadím úrovní
data_tucnaci$druh <-
  factor(
    x = data_tucnaci$druh,
    levels = c("Adelie", "Chinstrap", "Gentoo")
  )

# Ověříme počet ponechaných řádků a úrovně druhu
nrow(x = data_tucnaci)

[1] 342

levels(x = data_tucnaci$druh)

[1] "Adelie"    "Chinstrap" "Gentoo"

Prvních šest řádků připravené tabulky.
Druh	Ostrov	Hmotnost těla (g)	Pohlaví	Rok
Adelie	Torgersen	3750	male	2007
Adelie	Torgersen	3800	female	2007
Adelie	Torgersen	3250	female	2007
Adelie	Torgersen	NA	NA	2007
Adelie	Torgersen	3450	female	2007
Adelie	Torgersen	3650	male	2007

Doplňující: získání a příprava dat

Pro průchod lekcí stačí připravený soubor data/palmer_penguins.csv. Ten záměrně zachovává všech 344 řádků, aby byly chybějící hodnoty při prvním prohlédnutí viditelné. Pokud si ale chcete celý postup zopakovat, následující kód provede celý sled kroků: získá data → vybere a přejmenuje sloupce → připraví je pro model hmotnosti → uloží vlastní pracovní kopii.

Kód vynechá řádky bez hmotnosti hned po stažení, takže vlastní kopie bude mít jen 342 řádků. Druh v ní rovnou uloží jako faktor se stejným pořadím úrovní jako výše. Tento blok můžete přeskočit; další příklady používají tabulku data_tucnaci připravenou výše.

# Tento příkaz stačí spustit pouze jednou
# install.packages("palmerpenguins")

# Získáme data a prohlédneme chybějící hmotnosti
data_puvodni <- palmerpenguins::penguins
sum(is.na(data_puvodni$body_mass_g))
data_puvodni <- data_puvodni[!is.na(data_puvodni$body_mass_g), ]

# Vybereme, přejmenujeme a upravíme sloupce pro lekci
data_tucnaci <-
  data.frame(
    druh = factor(
      x = data_puvodni$species,
      levels = c("Adelie", "Chinstrap", "Gentoo")
    ),
    ostrov = as.character(data_puvodni$island),
    delka_zobaku_mm = data_puvodni$bill_length_mm,
    hloubka_zobaku_mm = data_puvodni$bill_depth_mm,
    delka_kridla_mm = data_puvodni$flipper_length_mm,
    hmotnost_tela_g = data_puvodni$body_mass_g,
    pohlavi = as.character(data_puvodni$sex),
    rok = data_puvodni$year
  )

# Uložíme si zpracovanou tabulku pro další práci
write.csv(
  x = data_tucnaci,
  file = "data/palmer_penguins_vlastni_kopie.csv",
  row.names = FALSE,
  na = ""
)

Balíček palmerpenguins obsahuje kopii původních tabulek z Environmental Data Initiative. Dokumentace balíčku palmerpenguins uvádí také cestu k neupraveným archivním souborům. Měření pocházejí z výzkumu tučňáků rodu Pygoscelis v letech 2007–2009. Data shromáždila Kristen Gorman ve spolupráci s Palmer Station Long Term Ecological Research a byla zveřejněna pod licencí CC0. Připravený soubor a jeho přesná provenance jsou popsány v data/README.md; biologickou studii uvádějí Gorman, Williams a Fraser (2014), DOI: 10.1371/journal.pone.0090081.

4 Hmotnosti tučňáků kroužkových a oslích

Pro první srovnání ponecháme jen dva druhy: tučňáka kroužkového (Adélie) a tučňáka oslího (Gentoo). V prvním grafu jsou jejich hmotnosti smíchané dohromady. Každý bod představuje jedno pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných., tedy jednoho změřeného jedince.

Šedé body hmotností tučňáků kroužkových a oslích v jednom společném sloupci s obrysem rozdělení; hodnoty sahají přibližně od tří do šesti kilogramů. — Hmotnosti tučňáků dvou druhů předtím, než použijeme informaci o druhu. Všechny body jsou záměrně šedé.

Bez další proměnnéVlastnost zaznamenaná u pozorování, která může mezi pozorováními nabývat různých hodnot, například druh, délka nebo počet. umíme popsat jen tento společný soubor. V lekci o popisu jedné proměnné jsme k tomu používali počet pozorování, minimum, maximum, průměrSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty)., mediánHodnota rozdělující seřazená data na dvě stejně početné poloviny; 50. percentil. a mezikvartilové rozpětí (IQR)Rozdíl mezi 3. kvartilem (Q3) a 1. kvartilem (Q1); pokrývá prostředních 50 % dat a je robustní vůči odlehlým pozorováním.. Stejné souhrny nyní spočítáme v R:

# Pro první pohled vybereme dva druhy, ale zatím je nesrovnáváme
data_dva_druhy <-
  data_tucnaci[
    data_tucnaci$druh %in% c("Adelie", "Gentoo"),
  ]
data_dva_druhy$druh <- droplevels(data_dva_druhy$druh)

# Připomeneme si známé souhrny pro všechny hmotnosti dohromady
c(
  pocet = length(data_dva_druhy$hmotnost_tela_g),
  prumer = mean(data_dva_druhy$hmotnost_tela_g),
  median = median(data_dva_druhy$hmotnost_tela_g),
  minimum = min(data_dva_druhy$hmotnost_tela_g),
  maximum = max(data_dva_druhy$hmotnost_tela_g),
  IQR = IQR(data_dva_druhy$hmotnost_tela_g)
)

   pocet   prumer   median  minimum  maximum      IQR 
 274.000 4318.066 4262.500 2850.000 6300.000 1350.000

Společný průměr 4 318,1 g shrnuje střed šedého oblaku, ale zakrývá možnost, že se v něm mísí odlišné skupiny. Tuto možnost prověří proměnná druh.

Proměnná druh je kategoriálníProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím).: její hodnoty nejsou měření na číselné škále, ale názvy kategorií. Funkce table() ukáže, kolik řádků (jedinců) patří do každé kategorie:

table(data_tucnaci$druh)


   Adelie Chinstrap    Gentoo 
      151        68       123

V celé tabulce jsou tři druhy. Pro první model ponecháváme pouze Adélie a Gentoo, které jsme vybrali do objektu data_dva_druhy.

Co by tvrdila nulová hypotéza?

V předchozí lekci jsme testovali nulovou hypotézuVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. o koeficientu modelu. Zkuste vyslovit nulovou hypotézu pro průměrnou hmotnost Adélie a Gentoo. Jak by podle ní vypadal graf, ve kterém body obarvíme podle druhu?

Možná odpověď

Nulová hypotéza tvrdí, že průměrná hmotnost obou druhů je v širší populaci stejná: rozdíl průměrů je 0 g. Body obou druhů by pak ležely kolem stejné výšky. Jednotlivci by se stále lišili, ale žádný druh by systematicky neležel výše.

Hmotnosti rozdělené do dvou sloupců podle druhu: oranžové body tučňáků kroužkových leží převážně níže než modrozelené body tučňáků oslích, obě skupiny se částečně překrývají. — Stejná měření po přidání kategoriální proměnné druh. Barva i vodorovná poloha nyní ukazují příslušnost ke skupině.

Po rozdělení vidíme silný posun: body tučňáků oslích leží převážně výše. Zároveň se hodnoty uvnitř každého druhu liší a oba soubory se částečně překrývají. Druh nám tedy pomohl odhalit strukturu, kterou šedý graf skrýval.

4.1 Průměr a směrodatná odchylkaOdmocnina rozptylu; vyjadřuje průměrnou vzdálenost hodnot od průměru ve stejných jednotkách jako původní data. každého druhu

Počet pozorování, průměr a směrodatná odchylka hmotnosti ve dvou skupinách.
Druh	Počet jedinců	Průměr (g)	SD (g)
tučňák kroužkový (Adélie)	151	3700,7	458,6
tučňák oslí (Gentoo)	123	5076,0	504,1

Průměr shrnuje polohu jedné skupiny, ale neříká, jak se liší jednotlivci uvnitř ní. Proto vedle něj zobrazíme směrodatnou odchylkuOdmocnina rozptylu; vyjadřuje průměrnou vzdálenost hodnot od průměru ve stejných jednotkách jako původní data. (SD) i všechny body. Svislá úsečka kolem průměru sahá od průměru minus jedna SD po průměr plus jedna SD.

Body hmotností obou druhů s vodorovnou úsečkou průměru a svislou úsečkou průměr plus minus jedna směrodatná odchylka; průměr tučňáků oslích leží výrazně výše. — Body jsou jednotliví tučňáci, silné vodorovné úsečky jsou průměry a tenké svislé úsečky ukazují průměr ± 1 SD.

Průměr tučňáků oslích je o 1 375,4 g vyšší než průměr tučňáků kroužkových. To je hlavní věcný rozdíl, který bude náš model popisovat.

5 Rozdíl průměrůSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty).

Dva průměry se mohou lišit o stejnou hodnotu, ale síla informace závisí také na variabilitěObecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu. uvnitř skupin. Následující graf proto skrývá jednotlivé body a ponechává pouze tři součásti: dva průměry, jejich rozdíl a SDOdmocnina rozptylu; vyjadřuje průměrnou vzdálenost hodnot od průměru ve stejných jednotkách jako původní data. každé skupiny.

Dva skupinové průměry hmotnosti s úsečkami plus minus jedna SD a svislou šipkou vpravo, která měří rozdíl mezi průměry v gramech. — Silné vodorovné úsečky jsou průměry, svislé úsečky ukazují ± 1 SD a závorka vpravo měří rozdíl mezi průměry. Celkový rozsah dat zde záměrně nezobrazujeme.

Svislá závorka měří systematický rozdíl, který chceme vysvětlit druhem. Úsečky SD připomínají, že každý průměr zastupuje celý oblak různých jedinců. Rozdíl průměrů proto nikdy nebudeme číst bez informace o variabilitě kolem nich.

5.1 Stejný rozdíl, jiná variabilita

Následující obrázek není další výběrSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. tučňáků. Je to záměrně zjednodušený myšlenkový pokus se dvěma vymyšlenými skupinami A a B po deseti jedincích. Ve všech třech panelech se průměry skupin liší o stejných 1 000 g; panely se liší jen tím, jak daleko jsou jedinci rozptýleni kolem průměru své skupiny.

Tři panely se dvěma skupinami bodů A a B. Průměry skupin se ve všech panelech liší stejně; vlevo jsou body těsně u průměrů a skupiny se nepřekrývají, vpravo jsou body široce rozptýlené a skupiny se výrazně překrývají. — Myšlenkový pokus se dvěma vymyšlenými skupinami A a B: rozdíl mezi průměry (vodorovné úsečky) je ve všech třech panelech stejný, směrodatná odchylka uvnitř skupin zleva doprava roste.

Kde je rozdíl nejpřesvědčivější?

Rozdíl průměrů je ve všech panelech stejný. Ve kterém panelu bychom nejsnáze odlišili systematický rozdíl mezi skupinami od běžných rozdílů mezi jedinci? A ve kterém nejhůře?

Možná odpověď

Nejsnáze v levém panelu: skupiny se téměř nepřekrývají a rozdíl průměrů je mnohem větší než typická odchylka jedince od průměru jeho skupiny. Nejhůře v pravém panelu: rozdíl průměrů je zde stejně velký jako směrodatná odchylka uvnitř skupin a skupiny se výrazně překrývají. Stejný rozdíl průměrů tak může být přesvědčivý i sotva rozeznatelný.

Rozdíl průměrů tedy nečteme izolovaně. Posuzujeme jej vzhledem k variabilitě, která zůstává kolem skupinových průměrů. Z tohoto porovnání vychází také název metody analýza rozptyluStatistický test porovnávající průměry tří a více skupin zároveň; testuje, zda se alespoň jedna skupina průměrem liší od ostatních., ke které se v této lekci dostaneme: porovnává variabilitu zachycenou rozdílnými skupinovými průměry s residuální variabilitou uvnitř skupin.

Rozdíl hmotností zatím pouze popisujeme. Abychom k němu mohli připojit nejistotu a test, fitujeme lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε).: odezvouProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. bude hmotnost těla a prediktoremProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. druh. Před vložením kategoriální proměnnéProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). do známé formule si připomeneme, jak model pracoval s numerickým prediktoremProměnná, jejíž hodnoty jsou čísla se smysluplnou velikostí nebo rozdílem; může být diskrétní, například počet, nebo spojitá, například délka..

6 Stejný lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε)., jiný prediktorProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x.

6.1 Připomenutí: přímka pro délku ploutve a hmotnost

V lekci o vztazích dvou proměnných jsme u tučňáků kreslili bodový graf délky ploutve a tělesné hmotnosti; v lekci o lineárním modelu jsme podobný vztah popsali přímkou. Přímku si připomeneme právě na tučňácích: délka ploutve (sloupec delka_kridla_mm) bude prediktorem a hmotnost těla odezvouProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y..

Každý bod je jeden tučňák. Délka ploutve určuje jeho vodorovnou polohu a fialová přímka ukazuje, jakou hmotnost model pro tuto délku odhadujeHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ..

Bodový graf: šedé body tučňáků stoupají zleva doprava od krátkých ploutví a nízké hmotnosti k dlouhým ploutvím a vysoké hmotnosti; fialová přímka prochází středem oblaku. — Pozorované délky ploutve a hmotnosti tučňáků s odhadnutou přímkou. Každá hodnota numerického prediktoru vybírá jedno místo na přímce.

6.2 Kde je interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y).?

V lekci o lineárním modelu jsme intercept a sklon psali jako \(a\) a \(b\). V lekcích o nejistotě a testování hypotéz jsme pro stejné koeficienty používali řecké písmeno \(\beta\) (beta): \(\beta_0\) je intercept a \(\beta_1\) sklon v širší populaci. Stříška označuje odhad z našich dat, takže \(\hat{\beta}_0\) je totéž co dřívější \(a\) a \(\hat{\beta}_1\) totéž co \(b\).

Intercept \(\hat{\beta}_0\) je odhadnutá hmotnost tučňáka s ploutví dlouhou 0 mm. Nula leží daleko mimo pozorované délky ploutví (172–231 mm), proto plnou přímku prodloužíme čárkovaně až k nule. Vychází \(\hat{\beta}_0 = \text{−5 781}\) g, tedy záporná hmotnost. Intercept umíme v rovnici vypočítat, ale tady nemá biologický smysl: je to extrapolace daleko za naše data.

Stejný bodový graf s osou délky ploutve od nuly. Fialová přímka je čárkovaně prodloužena doleva až k nule, kde fialový bod označuje intercept hluboko pod nulovou hmotností. — Intercept je výška přímky při hodnotě prediktoru 0. Čárkovaná část upozorňuje, že mezi nulou a nejkratší pozorovanou ploutví nemáme žádná data.

6.3 Kde je sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).?

Sklon \(\hat{\beta}_1\) je změna odhadnuté hmotnosti při prodloužení ploutve o 1 mm. Jeden milimetr by byl v grafu téměř neviditelný, proto zvýrazníme prodloužení o 10 mm. Odpovídající změna výšky přímky je \(10 \cdot \hat{\beta}_1 = \text{497}\) g.

Bodový graf s fialovou přímkou; tmavá vodorovná šipka vyznačuje prodloužení ploutve o deset milimetrů a fialová svislá šipka odpovídající nárůst odhadnuté hmotnosti. — Sklon převádí změnu prediktoru na změnu odhadnuté hodnoty. Kvůli čitelnosti je zobrazena změna při prodloužení ploutve o 10 mm.

6.4 Kde je residuumRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.?

Residuum je svislá vzdálenost naměřené hodnoty od hodnoty na přímce. U zvýrazněného tučňáka s ploutví dlouhou 202 mm porovnáme naměřenou hmotnost 3 400 g s odhadem modelu 4 256 g. Residuum je jejich rozdíl, -856 g.

Bodový graf s fialovou přímkou; u jednoho tučňáka spojuje oranžová svislá úsečka jeho naměřenou hmotnost s odhadnutou hmotností na přímce. — Residuum jednoho pozorování je svislá vzdálenost mezi naměřenou hodnotou (plný oranžový bod) a odhadnutou hodnotou na přímce (prázdný fialový bod).

6.5 Stejné koeficienty ve výstupu R

Funkce lm() vrátí stejné dva koeficienty, které jsme v grafech hledali odděleně.

# Odhadneme přímku pro hmotnost podle délky ploutve
mod_ploutev <-
  lm(
    formula = hmotnost_tela_g ~ delka_kridla_mm,
    data = data_tucnaci
  )

# Zobrazíme odhadnutý intercept a sklon
coef(object = mod_ploutev)

    (Intercept) delka_kridla_mm 
    -5780.83136        49.68557

Řádek (Intercept) je intercept, tedy výška přímky při délce ploutve 0 mm. Řádek delka_kridla_mm je sklon, tedy změna odhadnuté hmotnosti při prodloužení ploutve o 1 mm. Slovy:

\[ \text{odhadnutá hmotnost} = \text{intercept} + \text{sklon} \cdot \text{délka ploutve}. \]

Pro tučňáka s ploutví dlouhou 190 mm:

\[ \text{odhadnutá hmotnost} = \text{−5 780,8} + \text{49,69} \cdot 190 = \text{3 659,4}\ \text{g}. \]

Obecně, kde \(x_i\) je délka ploutve tučňáka \(i\), \(\hat{y}_i\) jeho odhadnutá hmotnost, \(\hat{\beta}_0\) intercept a \(\hat{\beta}_1\) sklon:

\[ \hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i. \]

Residuum dál měří svislou vzdálenost konkrétního pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných. od této přímky. U numerického prediktoru jsme tedy naměřenou hodnotu rozdělili na hodnotu odhadnutou modelem a residuum:

\[ \text{naměřená hodnota} = \text{odhadnutá hodnota} + \text{residuum}, \]

\[ y_i = \hat{y}_i + e_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i + e_i. \]

Číslo \(x_i\) určovalo polohu pozorování na vodorovné ose a výraz \(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i\) vybral odpovídající výšku na přímce. Prediktor druh ale obsahuje názvy, ne čísla. Aby mohl vstoupit do stejného výpočtu, model si z něj vytvoří číselnou proměnnou.

7 Lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). s kategoriální proměnnouProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím).

Vraťme se k hlavní biologické otázce: liší se průměrná hmotnostSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). Adélie a Gentoo? OdezvouProměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu y ~ x je odezva y. je stále hmotnost těla v gramech. Místo numerické délky ploutve ale modelu předáváme název druhu.

Lineární model potřebuje způsob, jak dvě kategorie vložit do rovnice. Pro dva druhy stačí binární proměnnáProměnná nabývající právě dvou hodnot, nejčastěji 0/1, přítomnost/nepřítomnost, ano/ne. „je Gentoo?“: hodnota 0 znamená „ne“, tedy Adélie, a hodnota 1 znamená „ano“, tedy Gentoo. Protože takovou proměnnou zapínáme a vypínáme, budeme jí říkat přepínač. Nejde o nové biologické měření ani pořadí druhů. Je to pouze číselný zápis příslušnosti ke skupině. Tabulka jej ukazuje jako nový sloupec vedle dvou skutečných pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných..

Dvě skutečná pozorování a číselný přepínač pro jejich skupinu.
Druh	Naměřená hmotnost (g)	je Gentoo?
tučňák kroužkový (Adélie)	3750	0
tučňák oslí (Gentoo)	4500	1

V následujícím grafu tvoří stejná proměnná vodorovnou osu. Model stále dostává přesně hodnotu 0 nebo 1. Jednotlivé body v každé skupině pouze nepatrně posuneme doleva a doprava, aby se navzájem nepřekrývaly; tento zobrazovací posun nevytváří nové hodnoty prediktoruProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x.. Vodorovné úsečky jsou dvě odhadnuté hodnotyHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ. a tečkované svislice jsou vzdálenosti jednotlivých měření od těchto odhadů.

Body hmotností nad hodnotami 0 (Adélie) a 1 (Gentoo) s vodorovnou úsečkou průměru každého druhu a tečkovanými svislicemi od bodů k průměrům; šipka vpravo měří rozdíl průměrů. — Kategorie druhu zapsaná binární proměnnou 0/1. Model přiřadí všem jedincům s hodnotou 0 průměr Adélie a všem jedincům s hodnotou 1 průměr Gentoo. Body jsou jen kvůli překryvu mírně posunuty do stran; tečkované úsečky jsou residua.

Nula a jednička nejsou další biologická měření a neříkají, že jeden druh je „vyšší“ nebo „lepší“. Jsou jen jazykem, kterým modelu sdělíme příslušnost ke skupině. Stejně jako u numerického prediktoru zůstává odhadnutá hodnota ve tvaru interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y). plus koeficient krát hodnota prediktoru.

7.1 Rovnice se dvěma hodnotami přepínače

Intercept je v tomto modelu průměrná hmotnost referenčního druhu Adélie. Druhý koeficient je rozdíl mezi průměrem Gentoo a průměrem Adélie. U numerického prediktoru byl druhý koeficient sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).; zde má nový význam skupinového rozdílu. Slovy:

\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hmotnost těla} &= \text{průměrná hmotnost druhu Adélie} \\ &\quad + \text{rozdíl Gentoo vůči Adélie} \cdot \text{„je Gentoo?“}. \end{aligned} \]

Pro Adélie má přepínač hodnotu 0:

\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hmotnost Adélie} &= \text{3 700,7} + \text{1 375,4} \cdot 0 \\ &= \text{3 700,7}\ \text{g}. \end{aligned} \]

Pro Gentoo má přepínač hodnotu 1:

\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hmotnost Gentoo} &= \text{3 700,7} + \text{1 375,4} \cdot 1 \\ &= \text{5 076,0}\ \text{g}. \end{aligned} \]

Obecně zapíšeme stejný vztah se symboly, které už známe. Symbol \(x_i\) je nyní přepínač „je Gentoo?“ pro tučňáka \(i\) (0 nebo 1), \(\hat{\beta}_0\) odhadnutý průměr Adélie a \(\hat{\beta}_1\) odhadnutý rozdíl Gentoo minus Adélie:

\[ \hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i, \]

\[ y_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i + e_i. \]

Zápis se od numerického prediktoru nezměnil. Změnil se význam \(x_i\) a tím i význam koeficientu \(\hat{\beta}_1\): už nepopisuje změnu při zvýšení prediktoru o jednu měrnou jednotku, ale rozdíl jedné skupiny vůči referenční skupině.

Nula a jednička nejsou pořadí druhů

Kdybychom vyměnili referenční druh, změnil by se přepínač, intercept i znaménko koeficientu. Skupinové průměry a biologický obsah dat by však zůstaly stejné. Kódování je jazyk modelu, ne vlastnost tučňáků.

8 Dvouskupinový model v R

V R zůstává funkce lm() stejná. Do pravé strany formule vložíme druh. R ale musí rozhodnout, vůči kterému druhu bude zapisovat rozdíl. Proto zvolí jednu úroveň faktoru jako referenční skupinu.

Ve výchozím kódování používá R jako referenci první úroveň faktoru. Při přípravě dat jsme pořadí nastavili na Adelie, Chinstrap, Gentoo; po ponechání dvou druhů proto zůstane první Adélie. Volba reference je nutná, protože informace „je Adélie?“ a „je Gentoo?“ jsou u dvou druhů navzájem dokonale propojené: známe-li jednu odpověď, druhou už dopočítáme. Model proto použije jeden společný základ – interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y). reference – a jeden rozdíl druhé skupiny vůči němu.

# Ponecháme dva druhy a odstraníme nevyužitou třetí úroveň
data_dva_druhy <-
  data_tucnaci[
    data_tucnaci$druh %in% c("Adelie", "Gentoo"),
  ]
data_dva_druhy$druh <- droplevels(data_dva_druhy$druh)

# Zkontrolujeme pořadí úrovní; první je reference
levels(data_dva_druhy$druh)

[1] "Adelie" "Gentoo"

# Fitujeme známý lineární model s kategoriálním prediktorem
mod_dva_druhy <-
  lm(
    formula = hmotnost_tela_g ~ druh,
    data = data_dva_druhy
  )

# Prohlédneme si celý známý výstup modelu
summary(mod_dva_druhy)


Call:
lm(formula = hmotnost_tela_g ~ druh, data = data_dva_druhy)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1126.02  -369.50   -26.02   343.00  1223.98 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3700.66      39.02   94.83   <2e-16 ***
druhGentoo   1375.35      58.24   23.61   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 479.5 on 272 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6721,    Adjusted R-squared:  0.6709 
F-statistic: 557.6 on 1 and 272 DF,  p-value: < 2.2e-16

Dvouskupinové koeficienty a jejich význam.
Řádek výstupu	Odhad (g)	Biologický význam	Kde číslo vidíme v grafu
(Intercept)	3700,7	průměrná hmotnost Adélie	vzdálenost průměrové úsečky Adélie od nuly
druhGentoo	1375,4	průměr Gentoo minus průměr Adélie	svislá vzdálenost mezi dvěma průměry

Tabulka překládá řádky výstupu do slov. V následujícím grafu jsou stejná dvě čísla umístěna přímo k datům: intercept je výška průměruSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). Adélie od nuly a koeficient druhGentoo je vzdálenost od průměru Adélie k průměru Gentoo.

Body obou druhů na ose hmotnosti začínající nulou; šedá šipka od nuly k průměru Adélie označuje intercept a fialová šipka mezi průměry Adélie a Gentoo označuje rozdílový koeficient. — Dva koeficienty dvouskupinového modelu přímo v datech. Intercept β̂₀ je vzdálenost průměrové úsečky Adélie od nuly; koeficient β̂₁ je rozdíl Gentoo minus Adélie.

Intercept 3 700,7 g je průměr referenční skupiny Adélie. Koeficient druhGentoo 1 375,4 g je rozdíl Gentoo minus Adélie. Součet obou koeficientů dává 5 076,0 g, tedy průměr Gentoo.

Doplňující: co se změní, když zvolíme jinou referenci?

Referenci můžeme změnit funkcí relevel(). Když jako základ zvolíme Gentoo, intercept se stane průměrem Gentoo a rozdílový koeficient bude Adélie minus Gentoo. Odhadnuté skupinové průměryHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ., residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. i biologický obsah modelu zůstanou stejné; změní se pouze způsob jejich zápisu.

data_reference_gentoo <- data_dva_druhy
data_reference_gentoo$druh <-
  relevel(
    x = data_reference_gentoo$druh,
    ref = "Gentoo"
  )

levels(data_reference_gentoo$druh)

[1] "Gentoo" "Adelie"

mod_reference_gentoo <-
  lm(
    formula = hmotnost_tela_g ~ druh,
    data = data_reference_gentoo
  )

coef(mod_reference_gentoo)

(Intercept)  druhAdelie 
   5076.016   -1375.354

Při referenci Gentoo je intercept 5 076,0 g a koeficient druhAdelie je -1 375,4 g. Součet opět vrátí průměr Adélie 3 700,7 g.

Ve studii s kontrolou nastavte referenci záměrně

Pokud má studie skutečnou kontrolní skupinu, je obvykle nejčitelnější nastavit ji jako referenci. Intercept potom vyjadřuje průměr kontroly a každý léčebný koeficient odpovídá přímo otázce ošetření minus kontrola.

data_studie$skupina <-
  relevel(
    x = data_studie$skupina,
    ref = "kontrola"
  )

levels(data_studie$skupina)

Tato volba pouze zpřehlední koeficienty. Nevytváří randomizaci, kontrolní podmínku ani kauzální důkaz — ty závisejí na designu studie. Změna reference také nemění odhadnuté skupinové průměry, residua ani celkový test modelu.

Co netestuje řádek interceptu

P-hodnotaPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data. v řádku interceptu porovnává průměr Adélie s nulovou hmotností. Nulová hmotnost není naše biologická otázka. Otázku rozdílu druhů ve dvouskupinovém modelu najdeme v řádku druhGentoo.

9 Odhadnuté hodnotyHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ. a residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. nezmizely

V modelu s číselným prediktoremProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x. měla každá délka ploutve vlastní hodnotu na přímce. V modelu se dvěma skupinami existují jen dvě odhadnuté hodnoty: průměrSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). Adélie a průměr Gentoo. Každý jedinec stejného druhu dostane stejnou odhadnutou hmotnost, ale vlastní residuum.

Body obou druhů s průměrovou úsečkou každého druhu; šedé tečkované svislice spojují body s průměrem a jedna tmavá svislice u tučňáka kroužkového zvýrazňuje velké residuum. — Každý jedinec sdílí odhadnutou hodnotu svého druhu. Body jsou kvůli překryvu mírně posunuty do stran. Tenké svislé úsečky spojují skutečné body s odhadem a jsou tedy residui; jedno residuum je zvýrazněno.

Pro zvýrazněného tučňáka kroužkového (jeho residuum je ze všech Adélie největší) platí slovy:

\[ \text{residuum} = \text{naměřená hmotnost} - \text{odhadnutá hmotnost}. \]

Po dosazení čísel ze stejného řádku dat a z výšky průměrové úsečky:

\[ \begin{aligned} \text{residuum} &= \text{4 775,0} - \text{3 700,7} \\ &= \text{1 074,3}\ \text{g}. \end{aligned} \]

Obecný zápis používá stejné symboly jako u přímky:

\[ e_i = y_i - \hat{y}_i. \]

# Z modelu získáme odhadnutou hmotnost každého jedince
data_dva_druhy$odhadnuta_hmotnost_g <-
  fitted(mod_dva_druhy)

# Residuum je měření minus odhadnutá hodnota
data_dva_druhy$residuum_g <-
  resid(mod_dva_druhy)

# Zkontrolujeme první řádky obou nových sloupců
head(
  data_dva_druhy[
    , c(
      "druh",
      "hmotnost_tela_g",
      "odhadnuta_hmotnost_g",
      "residuum_g"
    )
  ]
)

    druh hmotnost_tela_g odhadnuta_hmotnost_g residuum_g
1 Adelie            3750             3700.662   49.33775
2 Adelie            3800             3700.662   99.33775
3 Adelie            3250             3700.662 -450.66225
5 Adelie            3450             3700.662 -250.66225
6 Adelie            3650             3700.662  -50.66225
7 Adelie            3625             3700.662  -75.66225

Co zůstalo stejné

Lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). stále rozděluje každou naměřenou hodnotu na systematickou část a residuum. U číselného prediktoru byla systematickou částí přímka; u kategoriálního prediktoruProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). jsou jí skupinové průměry.

10 Jak velký a přesný je rozdíl dvou druhů?

Z dlouhého výstupu summary() vytáhneme jen dva odhadnuté koeficientyČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad.. Funkce coef() je užitečná právě ve chvíli, kdy víme, na které hodnoty se chceme zaměřit:

coef(mod_dva_druhy)

(Intercept)  druhGentoo 
   3700.662    1375.354

Koeficient druhGentoo odhaduje rozdíl 1 375,4 g. Podobně jako v předchozích dvou lekcích odhad doplníme standardní chybouMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. a 95% intervalem spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr..

Interval nevzniká jako další nezávislé číslo. Připomeňme si z lekce o nejistotě, jak se vypočítá ze stejného odhadu a standardní chyby. Slovy:

\[ 95\%\ \text{interval} = \text{odhad rozdílu} \pm \text{kritická hodnota} \cdot \text{standardní chyba rozdílu}. \]

Po dosazení odhadu, kritické hodnoty (vysvětlené níže) a standardní chyby z řádku druhGentoo:

\[ 95\%\ \text{interval} = \text{1 375,4} \pm \text{1,969} \cdot \text{58,24} = \text{1 260,7}\ \text{až}\ \text{1 490,0}\ \text{g}. \]

Se symboly, kde \(\hat{\beta}_1\) je odhadnutý rozdíl Gentoo minus Adélie a \(\operatorname{SE}(\hat{\beta}_1)\) jeho standardní chyba:

\[ 95\%\ \text{interval} = \hat{\beta}_1 \pm \underbrace{t_{0{,}975,\,df}}_{\text{kritická hodnota}} \cdot \operatorname{SE}(\hat{\beta}_1). \]

Pro 95% interval necháváme 2,5 % t-rozděleníPopis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení. v každém krajním chvostu. Kritická hodnotaNásobek standardní chyby použitý při konstrukci intervalu nebo testu; závisí například na hladině spolehlivosti, stupních volnosti a zvoleném rozdělení. proto závisí na zvolené hladině 95 %Zvolená dlouhodobá úspěšnost postupu pro konstrukci intervalu spolehlivosti, například 95 %, při opakování za srovnatelných podmínek a splnění předpokladů. a na 272 residuálních stupních volnostiPočet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů.; zde je 1,969.

# Vezmeme odhad a standardní chybu z řádku druhGentoo
tabulka_koeficientu <- coef(summary(mod_dva_druhy))
odhad_rozdilu <- tabulka_koeficientu["druhGentoo", "Estimate"]
standardni_chyba <- tabulka_koeficientu["druhGentoo", "Std. Error"]

# Kritická hodnota pro 95% interval a residuální stupně volnosti
kriticka_hodnota <-
  qt(
    p = 0.975,
    df = df.residual(mod_dva_druhy)
  )

dolni_mez <- odhad_rozdilu - kriticka_hodnota * standardni_chyba
horni_mez <- odhad_rozdilu + kriticka_hodnota * standardni_chyba

c(dolni_mez = dolni_mez, horni_mez = horni_mez)

dolni_mez horni_mez 
 1260.687  1490.021

# Stejný výpočet pohodlně provede confint()
confint(mod_dva_druhy)["druhGentoo", ]

   2.5 %   97.5 % 
1260.687 1490.021

Fialový bod odhadu rozdílu s oranžovou vodorovnou úsečkou intervalu spolehlivosti; celý interval leží daleko vpravo od čárkované nuly. — Odhad rozdílu průměrné hmotnosti Gentoo minus Adélie a jeho 95% interval spolehlivosti. Nula znamená stejné průměry.

Interval sahá od 1 260,7 do 1 490,0 g. Celý leží nad nulou, ale jeho hlavním sdělením není pouze „nula uvnitř / nula vně“. Ukazuje také, jak velký rozdíl je s daty a modelem slučitelný.

10.1 Je rozdíl slučitelný s nulou?

Nulová hypotézaVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. a alternativa mluví o rozdílu průměrnýchSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). hmotností obou druhů v širší populaci, ze které změření tučňáci pocházejí:

\[ H_0: \text{průměr Gentoo} - \text{průměr Adélie} = 0, \]

\[ H_A: \text{průměr Gentoo} - \text{průměr Adélie} \neq 0. \]

Se symboly jde o tvrzení o populačním koeficientu: \(H_0: \beta_1 = 0\) a \(H_A: \beta_1 \neq 0\). Pro výpočet si znovu zobrazíme celý výstup modelu. V řádku druhGentoo stojí vedle sebe všechny tři hodnoty, které potřebujeme: odhad rozdílu, jeho standardní chyba a vypočtená t-statistika.

summary(mod_dva_druhy)


Call:
lm(formula = hmotnost_tela_g ~ druh, data = data_dva_druhy)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1126.02  -369.50   -26.02   343.00  1223.98 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3700.66      39.02   94.83   <2e-16 ***
druhGentoo   1375.35      58.24   23.61   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 479.5 on 272 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6721,    Adjusted R-squared:  0.6709 
F-statistic: 557.6 on 1 and 272 DF,  p-value: < 2.2e-16

V řádku druhGentoo tedy čteme Estimate = 1 375,35, Std. Error = 58,24 a t value = 23,61. Následující rovnice pouze ukazuje, jak R ze dvou prvních sloupců získalo třetí.

Z předchozí lekce známe vztah mezi odhadem, nulovou hodnotou a jeho nejistotouRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb.. Slovy:

\[ \text{t-statistika} = \frac{ \text{odhadnutý rozdíl}-\text{nulový rozdíl} }{ \text{standardní chyba rozdílu} }. \]

Po dosazení čísel z řádku druhGentoo:

\[ \begin{aligned} t &= \frac{ \text{1 375,4}-0 }{ \text{58,2} } \\ &= \text{23,61}. \end{aligned} \]

Obecně:

\[ t = \frac{\hat{\beta}_1-0}{\operatorname{SE}(\hat{\beta}_1)}. \]

Stejně jako v předchozí lekci můžeme výsledek umístit do t-rozdělení očekávaného při nulové hypotéze. Musíme ale rozlišit dvě různá čísla:

kritické hranice jsou zde \(-\text{1,969}\) a \(+\text{1,969}\). Oddělují prostředních 95 % nulového t-rozdělení od krajních 5 %: v každém chvostu zůstává 2,5 %. Stejnou kladnou kritickou hodnotu jsme použili už při výpočtu 95% intervalu spolehlivosti;
pozorovaná t-statistika je \(+\text{23,61}\). Tu jsme právě vypočítali z řádku druhGentoo v summary().

Kritické hranice tedy nejsou výsledkem našeho testu. Vymezují předem zvolené rozhodovací oblasti pro \(\alpha=0{,}05\). Náš výsledek \(t=+\text{23,61}\) leží mnohem dále od nuly. Protože testujeme oboustrannou otázku, sledujeme také stejně vzdálenou zrcadlovou hranici \(-\text{23,61}\). P-hodnotaPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data. je součet ploch nulového t-rozdělení za těmito dvěma hranicemi, nikoli plocha za kritickými hodnotami.

Následující graf proto používá dva panely: první zvětší kritické hranice a oblasti o celkové ploše \(\alpha=0{,}05\); druhý ukáže skutečně pozorované \(t\) a jeho zrcadlovou hranici na celé ose.

Dva panely t-rozdělení. Vlevo zvonovitá křivka s fialově vybarvenými krajními chvosty za kritickými hranicemi. Vpravo stejná křivka na široké ose; oranžová čára pozorovaného t a jeho zrcadlová hranice leží tak daleko od nuly, že plocha za nimi není vidět. — T-rozdělení při nulové hypotéze. Levý panel ukazuje kritické hranice a fialové chvosty o celkové ploše alfa = 0,05. V pravém panelu fialové čáry tyto hranice připomínají, zatímco oranžové pásy označují oblasti za pozorovaným t = 23,61 a zrcadlovou hranicí −23,61. P-hodnota je plocha pod t-křivkou uvnitř těchto oranžových oblastí.

Pozorovaný rozdíl leží 23,61 standardních chyb nad nulou, takže skutečně pozorovaná t-statistika je \(+\text{23,61}\). Záporná hodnota \(-\text{23,61}\) nebyla pozorována; je to zrcadlová hranice potřebná pro oboustrannou otázku. Při 272 residuálních stupních volnosti je součet ploch za oběma hranicemi, tedy p-hodnota, < 0,001. Za předpokladů modelu jsou data velmi obtížně slučitelná s přesně nulovým rozdílem mezi těmito dvěma druhy. Slovo „za předpokladů“ je důležité: residua tohoto modelu kontrolujeme stejně jako u přímky. Jak to vypadá u kategoriálního prediktoru, ukážeme níže na modelu se třemi druhy; stejné grafy platí i pro dva druhy.

10.2 Historická poznámka: dvouvýběrový t-testStatistický test porovnávající průměry dvou skupin (nebo průměr s konstantou); ekvivalent lineárního modelu se dvěma úrovněmi faktoru. v literatuře

Statistické metody se historicky vyučovaly jako soubor samostatně pojmenovaných testů pro různé situace: jeden test pro dva průměry, jiný pro více průměrů, další pro vztah dvou numerických proměnných. Takové názvy byly praktické v době ručních výpočtů a tabulek, a proto zůstávají v učebnicích, článcích i nabídkách statistických programů dodnes.

Mnoho těchto klasických postupů ale můžeme zapsat jako speciální případy jednoho regresního modelu. Dvouskupinový t-test se společným rozptylemPrůměr čtverců odchylek od průměru; míra variability dat. Odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka. používá za stejných předpokladů tentýž odhad rozdílu, standardní chybu, t-statistiku a p-hodnotu jako koeficient druhGentoo v našem dvouskupinovém lineárním modeluStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε).. Nemusíme se tedy učit nový způsob uvažování: biologickou otázku, odhad, nejistotu i test stále čteme z jednoho modelového rámce.

Název dvouvýběrový t-test však budeme potkávat v další literatuře. Následující příklad proto ukazuje, jak známý modelový výsledek přeložit do historického názvu testu a zpět. Nejde o další nesouvisející analýzu. Aby znaménko odpovídalo našemu koeficientu, odečteme Adélie od Gentoo.

Proč tento historický název uvádíme

Když v knize uvidíte dvouvýběrový t-test se společným rozptylem, můžete si jej představit jako lineární model y ~ skupina se dvěma úrovněmi. Při čtení výsledku se znovu ptejte na rozdíl průměrů, jeho standardní chybu, t-statistiku a p-hodnotu.

# Připravíme hmotnosti obou skupin ve směru Gentoo minus Adélie
vec_gentoo <-
  data_dva_druhy$hmotnost_tela_g[
    data_dva_druhy$druh == "Gentoo"
  ]
vec_adelie <-
  data_dva_druhy$hmotnost_tela_g[
    data_dva_druhy$druh == "Adelie"
  ]

# Test se společným rozptylem odpovídá dvouskupinovému lm()
t.test(
  x = vec_gentoo,
  y = vec_adelie,
  var.equal = TRUE
)


    Two Sample t-test

data:  vec_gentoo and vec_adelie
t = 23.614, df = 272, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 1260.687 1490.021
sample estimates:
mean of x mean of y 
 5076.016  3700.662

Stejná dvouskupinová otázka zapsaná jako koeficient lineárního modelu a jako t-test.
Postup	Rozdíl Gentoo − Adélie (g)	t-statistika	df
koeficient v lm()	1375,4	23,61	272
t-test se společným rozptylem	1375,4	23,61	272

Výchozí t.test() v R je Welchův test

Bez argumentu var.equal = TRUE používá R Welchův t-test, který nevyžaduje společný rozptyl skupin a může mít jiné stupně volnosti i mírně jiný interval. Není proto pravda, že každý výstup t.test() musí být číselně totožný s obyčejným lm(). Totožnost v tabulce platí pro stejnou otázku a stejné předpoklady.

11 Tři druhy, stejná formule

Do dat se vrací tučňák uzdičkový (Chinstrap). Do lm() nemusíme přidávat nový druh ručně: faktor druh už obsahuje všechny tři úrovně.

Body hmotností tří druhů s průměry a úsečkami plus minus jedna SD; průměry Adélie a Chinstrap leží téměř stejně vysoko, průměr Gentoo výrazně výše. Dvě šipky vyznačují rozdíly vůči Adélie. — Tři druhy s průměrem ± 1 SD. Svislé závorky ukazují oba rozdíly, které model přímo vyjadřuje vůči referenčnímu druhu Adélie.

PrůměrySoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). Adélie a Chinstrap leží blízko sebe, zatímco průměr Gentoo je mnohem výše. To je přesně situace, ve které potřebujeme odlišit tři otázky: jak se jednotlivé skupiny liší od reference, zda jsou všechny tři průměry celkově stejné a které konkrétní dvojice chceme porovnat.

# Fitujeme stejnou formuli na všech třech druzích
mod_tri_druhy <-
  lm(
    formula = hmotnost_tela_g ~ druh,
    data = data_tucnaci
  )

# Koeficienty stále čteme vzhledem k referenčnímu druhu Adélie
coef(mod_tri_druhy)

  (Intercept) druhChinstrap    druhGentoo 
   3700.66225      32.42598    1375.35401

confint(mod_tri_druhy)

                  2.5 %    97.5 %
(Intercept)   3626.6655 3774.6590
druhChinstrap -100.3686  165.2206
druhGentoo    1264.9117 1485.7963

11.1 Tři skupiny potřebují dva přepínače

Adélie zůstává referencí. Model proto vytvoří přepínač pro Chinstrap a druhý pro Gentoo.

Kódování tří skupin při referenčním druhu Adélie. Přepínače nejsou biologické veličiny.
Druh	je Chinstrap?	je Gentoo?	Odhadnutá hmotnost
tučňák kroužkový (Adélie)	0	0	β̂₀
tučňák uzdičkový (Chinstrap)	1	0	β̂₀ + β̂₁
tučňák oslí (Gentoo)	0	1	β̂₀ + β̂₂

Slovy:

\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá hmotnost těla} &= \text{průměr Adélie} \\ &\quad + \text{rozdíl Chinstrap vůči Adélie} \cdot \text{„je Chinstrap?“} \\ &\quad + \text{rozdíl Gentoo vůči Adélie} \cdot \text{„je Gentoo?“}. \end{aligned} \]

Po dosazení skutečných koeficientů a obou přepínačů z tabulky skončí každý řádek právě na průměru daného druhu:

\[ \begin{aligned} \widehat{\text{hmotnost}}_{\text{Adélie}} &= \text{3 700,7} + \text{32,4}\cdot 0 + \text{1 375,4}\cdot 0 = \text{3 700,7}\ \text{g}, \\ \widehat{\text{hmotnost}}_{\text{Chinstrap}} &= \text{3 700,7} + \text{32,4}\cdot 1 + \text{1 375,4}\cdot 0 = \text{3 733,1}\ \text{g}, \\ \widehat{\text{hmotnost}}_{\text{Gentoo}} &= \text{3 700,7} + \text{32,4}\cdot 0 + \text{1 375,4}\cdot 1 = \text{5 076,0}\ \text{g}. \end{aligned} \]

Obecně: symbol \(x_{\text{Chinstrap},i}\) je číselná odpověď na otázku „je pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných. \(i\) Chinstrap?“ a \(x_{\text{Gentoo},i}\) na otázku „je pozorování \(i\) Gentoo?“. Oba nabývají hodnoty 0 nebo 1. Koeficient \(\hat{\beta}_0\) je odhadnutý průměr Adélie, \(\hat{\beta}_1\) rozdíl Chinstrap minus Adélie a \(\hat{\beta}_2\) rozdíl Gentoo minus Adélie:

\[ \hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_{\text{Chinstrap},i} + \hat{\beta}_2 x_{\text{Gentoo},i}. \]

Koeficienty třískupinového modelu.
Řádek výstupu	Odhad (g)	Význam při referenci Adélie
(Intercept)	3700,7	průměr Adélie
druhChinstrap	32,4	Chinstrap minus Adélie
druhGentoo	1375,4	Gentoo minus Adélie

Koeficienty neobsahují všechny dvojice

Tabulka s referencí Adélie přímo odpovídá na otázky Chinstrap minus Adélie a Gentoo minus Adélie. Rozdíl Gentoo minus Chinstrap v ní není samostatný řádek, i když jej lze ze stejného modelu odvodit.

12 Popisuje model data rozumně?

Než třískupinový model použijeme k testům, zkontrolujeme stejně jako u přímky diagnostiku modeluSoubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů.. U kategoriálního prediktoruProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). má graf residuíRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. proti odhadnutým hodnotámHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ. zvláštní, ale očekávaný tvar: model odhaduje jen tři skupinové průměrySoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty)., takže body tvoří svislé pásy, jeden pro každý druh. Průměry Adélie a Chinstrap se liší jen o 32 g, proto jejich pásy na vodorovné ose téměř splývají a v grafu vidíme zdánlivě jen dva.

Co od diagnostiky potřebujeme

Test předpokládá nezávislá pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných., přibližně srovnatelnou variabilituObecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu. residuí ve skupinách a přibližně normální tvar residuí. Graf residuí proti odhadnutým hodnotám pomáhá posoudit srovnatelnost rozptyluPrůměr čtverců odchylek od průměru; míra variability dat. Odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka.; Q–Q grafGraf, který porovnává seřazené hodnoty (typicky residua) s kvantily očekávanými u zvoleného rozdělení, nejčastěji normálního. pomáhá posoudit tvar rozděleníPopis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení.. Nezávislost však z těchto grafů nepoznáme — musíme ji zdůvodnit způsobem, jakým byla pozorování získána.

Doplňující: co když se skupiny liší variabilitou?

Rozdílný rozptyl residuí neznamená, že rozdíl průměrů zmizel. Znamená, že běžný model se společným residuálním rozptylem nemusí správně vyjádřit nejistotu tohoto rozdílu. Nápovědou může být výrazně širší pás residuí u jednoho druhu nebo skupinové rozdělení s velmi odlišnou šířkou.

Pro dvě skupiny už jsme viděli Welchův t-test, který společný rozptyl nevyžaduje. Pro více skupin existuje Welchova ANOVA a v modelovém rámci také další způsoby výpočtu odolnější nejistoty. Volba řešení závisí na otázce, velikosti skupin a tvaru dat; diagnostický graf proto nemá sloužit jako automatický příkaz k transformaci nebo mazání pozorování.

Residua tučňáků proti odhadnuté hmotnosti: oranžové body Adélie a fialové body Chinstrap tvoří společný svislý pás vlevo, modrozelené body Gentoo pás vpravo; oba pásy jsou rozptýleny kolem nulové čáry podobně široce. — Residua proti odhadnutým hodnotám. Svislé pásy odpovídají skupinovým průměrům a jsou vlastností tohoto modelu, ne samy o sobě závadou. Pásy Adélie a Chinstrap téměř splývají, protože jejich průměry jsou skoro stejné.

Ve všech pásech jsou residua rozptýlena kolem nuly. Rozsah není dokonale totožný, ale žádná skupina nevytváří dramaticky odlišný vějíř a žádný jednotlivý bod zjevně neurčuje celý výsledek.

Stejné dva grafy nakreslíte v základním R. Graf residuí proti odhadnutým hodnotám vznikne funkcí plot(), vodorovnou čáru v nule přidá abline(). Q–Q graf nakreslí qqnorm() a referenční přímku qqline(). Na rozdíl od grafů výše nebudou body obarvené podle druhu.

# Residua proti hodnotám odhadnutým modelem
plot(
  x = fitted(object = mod_tri_druhy),
  y = resid(object = mod_tri_druhy),
  xlab = "Odhadnutá hmotnost (g)",
  ylab = "Residuum (g)"
)

# Přerušovaná čára v nule
abline(h = 0, lty = 2)

# Q–Q graf residuí s referenční přímkou
qqnorm(y = resid(object = mod_tri_druhy))
qqline(y = resid(object = mod_tri_druhy))

Q–Q graf: šedé body residuí leží téměř na tmavé referenční přímce, jen na obou koncích se od ní mírně vzdalují. — Q–Q graf residuí. Body převážně sledují referenční přímku; menší odchylky na koncích jsou u reálných dat běžné.

Q–Q graf porovnává seřazená residua s hodnotami očekávanými při přibližně normálním tvaru. Body většinou sledují přímku. Model proto pro srovnání skupin nevykazuje problém, který by převzal hlavní biologický příběh, a můžeme jej použít k testům. To neznamená, že jsou předpoklady „dokázané“; znamená to, že grafy neukazují zásadní rozpor.

13 Jedna celková otázka: analýza rozptyluStatistický test porovnávající průměry tří a více skupin zároveň; testuje, zda se alespoň jedna skupina průměrem liší od ostatních.

U dvou skupin stačil jediný koeficient: Gentoo minus Adélie. U tří skupin už model obsahuje dva rozdílové koeficienty a jejich samostatné řádky neodpovídají přímo na jednu společnou otázku. Celková otázka zní, zda přidání proměnnéVlastnost zaznamenaná u pozorování, která může mezi pozorováními nabývat různých hodnot, například druh, délka nebo počet. druh zlepší popis dat jako celek:

\[ H_0: \text{všechny tři průměrné hmotnosti jsou stejné}. \]

Alternativa neříká, která dvojice se liší. Říká pouze, že alespoň jeden průměrSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). není stejný jako ostatní.

13.1 Jeden společný průměr proti třem skupinovým průměrům

Nulová hypotézaVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. odpovídá jednoduššímu modelu bez prediktoruProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x.: všem tučňákům přiřadí jeden společný průměr. Model s druhem je složitější a přiřadí každému jedinci průměr jeho druhu. Otázku analýzy rozptylu proto můžeme přeformulovat: zkrátí tři skupinové průměry residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. natolik, aby přidaná složitost modelu stála za to?

Dva panely se stejnými body tří druhů. Vlevo jedna společná vodorovná čára a dlouhé tečkované svislice residuí, vpravo tři skupinové průměry a kratší residua. — Stejná pozorování popsaná jedním společným průměrem a třemi skupinovými průměry. Body jsou kvůli překryvu mírně posunuty do stran. Tečkované svislice jsou všechna residua; šipky v levém panelu ukazují posun od společného průměru k průměrům druhů.

V levém panelu jsou residua vzdálenosti od jednoho společného průměru. V pravém panelu jsou vzdálenosti od průměru vlastního druhu. Součet čtverců residuíSoučet druhých mocnin všech residuí; vyjadřuje celkovou čtvercovou odchylku pozorovaných hodnot od hodnot odhadnutých modelem. klesne z 219 307 697 na 72 443 483 g². Rozdílné skupinové průměry tedy vysvětlí část variabilityObecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu., která v jednodušším modelu zůstávala v residuích.

Proč residua umocňujeme? Kdybychom pouze sečetli kladné a záporné vzdálenosti od průměru, navzájem by se vyrušily. Čtverce jsou vždy nezáporné a velkým odchylkám dávají větší váhu. Stejnou myšlenku součtu čtverců residuí už známe z fitování přímky.

Pokles součtu čtverců můžeme zobrazit jako rozdělení původní chyby jednoduššího modelu na dvě části:

\[ \underbrace{\text{SSE jednoho průměru}}_{\text{219 307 697}} = \underbrace{\text{SS zachycený druhem}}_{\text{146 864 214}} + \underbrace{\text{SSE tří průměrů}}_{\text{72 443 483}}. \]

Obecně: \(\mathrm{SSE}_{\text{jeden průměr}} = \mathrm{SS}_{\text{druh}} + \mathrm{SSE}_{\text{tři průměry}}\), kde SSE je součet čtverců residuí daného modelu a \(\mathrm{SS}_{\text{druh}}\) část, kterou zachytily rozdíly průměrů druhů.

Vodorovný sloupec součtu čtverců rozdělený na fialovou část zachycenou rozdíly druhů a šedou část, která zůstává uvnitř druhů; fialová část je větší. — Původní součet čtverců residuí se po přidání druhu rozdělí na část zachycenou rozdíly skupinových průměrů a část, která stále zůstává uvnitř druhů.

13.2 Co porovnává F-statistikaTestová statistika porovnávající rozptyl vysvětlený modelem s rozptylem nevysvětleným (reziduálním); vyšší F = vyšší poměr signal:šum.

Samotný pokles součtu čtverců nestačí. Složitější model téměř vždy residua alespoň trochu zkrátí, protože dostal více koeficientů. Potřebujeme proto porovnat dvě veličiny na férovém měřítku:

kolik variability zachytil každý přidaný rozdíl mezi skupinami;
jak velký čtverec residua typicky zůstává uvnitř skupin.

F-statistika je poměr právě těchto dvou množství. Protože porovnává dvě variability, jmenuje se metoda analýza rozptylu, i když biologická otázka mluví o průměrech.

Slovy:

\[ \text{F-statistika} = \frac{ \text{variabilita připadající na rozdíly mezi skupinami} }{ \text{residuální variabilita uvnitř skupin} }. \]

Čísla už jsme viděli ve dvou konkrétních grafech. V grafu jeden společný průměr proti třem skupinovým průměrům byl součet čtverců residuí jednoho průměru 219 307 697 g² a součet čtverců residuí tří průměrů 72 443 483 g². Jejich rozdíl 146 864 214 g² tvoří fialovou část grafu rozkladu součtu čtverců – část zachycenou druhem.

Součty čtverců převedeme na srovnatelné průměrné čtverce dělením příslušnými stupni volnostiPočet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů.. Model přidal 2 rozdílové koeficienty; uvnitř skupin zbývá 339 residuálních stupňů volnosti:

\[ \begin{aligned} \text{průměrný čtverec mezi skupinami} &= \frac{ \text{219 307 697} - \text{72 443 483} }{ \text{2} } = \frac{ \text{146 864 214} }{ \text{2} } = \text{73 432 107}, \\ \text{průměrný čtverec uvnitř skupin} &= \frac{ \text{72 443 483} }{ \text{339} } = \text{213 698}. \end{aligned} \]

Kdyby druh nepomáhal, zlepšení připadající na jeden nový koeficient by bylo podobně velké jako běžný čtverec residua a \(F\) by bylo kolem 1. Čím je čitatel větší vůči jmenovateli, tím více skupinové rozdíly vyčnívají nad variabilitu jedinců uvnitř skupin. V našich datech jejich poměr dává:

\[ F = \frac{ \text{73 432 107} }{ \text{213 698} } = \text{343,63}. \]

Obecně:

\[ F = \frac{MS_{\text{mezi skupinami}}}{MS_{\text{uvnitř skupin}}}. \]

Symbol \(MS\) označuje průměrný čtverec (mean square): součet čtverců dělený příslušnými stupni volnosti. F-statistika tak spojuje všechny předchozí kroky: rozdíly průměrů mění odhadnuté hodnotyHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ., tím zkracují residua, z residuí počítáme součty čtverců a jejich férově přepočtený poměr testuje společnou nulovou hypotézu.

# Položíme celkovou otázku stejnému třískupinovému modelu
anova(mod_tri_druhy)

Analysis of Variance Table

Response: hmotnost_tela_g
           Df    Sum Sq  Mean Sq F value    Pr(>F)    
druh        2 146864214 73432107  343.63 < 2.2e-16 ***
Residuals 339  72443483   213698                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

13.3 Jak číst tabulku `anova()` řádek po řádku

Tabulka je kompaktní, ale každý údaj odpovídá kroku, který jsme už viděli v rovnici nebo grafu:

Řádek druh popisuje část variability zachycenou přidáním tří skupinových průměrů místo jednoho společného průměru. Řádek Residuals popisuje variabilitu, která zůstává kolem skupinových průměrů.
Df pro druh je 2. Tři skupinové průměry vyjádříme jedním referenčním průměrem a dvěma rozdíly, takže druh přidává \(3-1=2\) stupně volnosti. Df pro residua je 339. Máme 342 pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných. a odhadujeme tři skupinové průměry, proto zbývá \(342-3=339\) residuálních stupňů volnosti.
Sum Sq pro druh je 146 864 214 g². Je to přesně rozdíl mezi SSE jednoho a tří průměrů a fialová část předchozího rozkladového grafu. Sum Sq pro Residuals je 72 443 483 g², tedy šedá část, která zůstává uvnitř druhů.
Mean Sq vznikne vydělením každého Sum Sq jeho Df: 73 432 107 g² mezi skupinami a 213 698 g² uvnitř skupin.
F value je 343,63. Je to poměr těchto dvou průměrných čtverců. Hodnota mnohem větší než 1 znamená, že rozdíly skupinových průměrů jsou velké vůči běžné variabilitě jedinců kolem těchto průměrů.
Pr(>F) je p-hodnotaPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data.. Nejde o další nezávislý výpočet z dat; vzniká umístěním pozorovaného \(F\) do nulového F-rozděleníPopis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení. s 2 stupni volnosti pro čitatele a 339 pro jmenovatele.

13.4 Jak se z F-statistiky stane p-hodnota

Pokud by všechny tři populační průměry byly stejné a platily předpoklady modelu, opakované výběrySoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. by vytvářely hodnoty z F-rozdělení \(F(2, 339)\). P-hodnota je plocha napravo od naší pozorované hodnoty 343,63:

\[ p = P\!\left( F_{2,339} \ge \text{343,63} \mid H_0 \right). \]

# F a stupně volnosti vezmeme z tabulky anova()
tabulka_anova <- anova(object = mod_tri_druhy)
f_druh <- tabulka_anova["druh", "F value"]
df_druh <- tabulka_anova["druh", "Df"]
df_residua <- tabulka_anova["Residuals", "Df"]

# Plocha F-rozdělení napravo od pozorovaného F
pf(
  q = f_druh,
  df1 = df_druh,
  df2 = df_residua,
  lower.tail = FALSE
)

[1] 2.892368e-82

Argument lower.tail = FALSE říká R, že chceme pravý chvost: pravděpodobnost hodnot stejně velkých nebo větších než pozorované \(F\). U našeho modelu je tato plocha tak malá, že ji v grafu prakticky neuvidíme.

Dva panely F-rozdělení: vlevo křivka s většinou hodnot blízko jedné, vpravo stejná křivka na široké ose a oranžová čára pozorovaného F daleko vpravo, kde je plocha pod křivkou neviditelná. — F-rozdělení očekávané při nulové hypotéze. Levý panel ukazuje běžné hodnoty blízko jedné; pravý panel umisťuje pozorovanou F-statistiku na skutečnou osu. P-hodnota je plocha napravo od oranžové čáry a je zde příliš malá, aby byla viditelná.

Pro tučňáky tedy vychází \(F(2, 339)=\text{343,63}\) a p-hodnota je < 0,001. Za předpokladů modelu jsou data velmi obtížně slučitelná s hypotézou, že všechny tři druhy mají stejnou průměrnou hmotnost.

Celkový výsledek neříká, že se liší každá dvojice

Malá p-hodnota analýzy rozptylu podporuje tvrzení, že alespoň jeden průměr se liší. Neurčuje však, které dvojice se liší, ani zda jsou všechny rozdíly biologicky důležité.

14 Post-hocTest prováděný po signifikantní ANOVA k identifikaci, které konkrétní páry skupin se od sebe liší; opravuje p-hodnoty pro mnohonásobné porovnávání.: které dvojice se liší?

F-test odpověděl na celkovou otázku: data jsou obtížně slučitelná s hypotézou tří stejných průměrůSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty).. Neříká ale, které druhy se liší. Na to se ptají navazující otázky o konkrétních dvojicích. U tří druhů existují tři páry: Chinstrap minus Adélie, Gentoo minus Adélie a Gentoo minus Chinstrap.

Kdybychom každý pár testovali jako izolovanou novou studii, s rostoucím počtem testů by rostla šance na alespoň jeden náhodně extrémní výsledek. Tukeyho post-hoc metoda proto vyhodnotí celou rodinu párových otázek společně. Získáme simultánní intervalyRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. a p-hodnotyPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data. upravené pro všechna tři porovnání.

Dvě různé otázky položené stejnému modelu

Celkový F-test se ptá, zda jsou všechny skupinové průměry stejné. Odpovídá jedním číslem pro všechny skupiny.
Post-hoc porovnání se ptají, které konkrétní dvojice se liší a o kolik gramů. Tukeyho úprava sama zohlední, že se díváme na více dvojic současně, a nepotřebuje proto předchozí „významný“ F-test jako vstupenku.

Párová porovnání dávají smysl, když máme tři a více skupin a biologická otázka se týká konkrétních dvojic. U dvou skupin je jediná dvojice a odpověď už dává koeficient modelu. Když jsou párové rozdíly malé a jejich intervaly obsahují nulu, poctivý závěr zní, že data rozdíly neodlišují od nuly. Problémem by bylo vybrat si dodatečně jednu „zajímavou“ dvojici a uvést její neupravenou p-hodnotu, jako by šlo o jedinou předem položenou otázku.

Doplňující: proč jsou Tukeyho intervaly širší

Obyčejný pětadevadesátiprocentní interval chrání dlouhodobé pokrytí jedné předem vybrané veličiny. Zde ale chceme současně číst tři rozdíly. Kdyby měl každý neopravený interval pětiprocentní riziko minutí, šance, že alespoň jeden z celé sady mine svou skutečnou hodnotu, by byla větší než pět procent.

Tukeyho metoda proto nastaví jednotlivé intervaly opatrněji tak, aby přibližně devadesát pět procent opakovaných celých sad tří intervalů pokrylo všechny tři skutečné rozdíly současně. Za tuto společnou ochranu obvykle platíme širšími intervaly a většími upravenými p-hodnotami než při izolovaném čtení jediné dvojice.

Doplňující: plánované kontrasty a post-hoc porovnání nejsou stejná otázka

V této lekci klademe celkovou otázku a k ní systematicky prohlížíme všechny tři dvojice. To je post-hoc postup. Výzkumník však někdy ještě před sběrem dat určí jeden biologicky motivovaný kontrast, například „potápěčský druh proti průměru dvou pobřežních druhů“. Taková otázka není dodatečným hledáním nejzajímavější dvojice.

Předem plánovaný kontrast může být věcně přesnější než všechna párová srovnání a stejně jako Tukeyho porovnání nemusí čekat na výsledek celkového F-testu. Stále však musíme transparentně uvést všechny plánované otázky a při více kontrastech zvážit jejich společnou chybovost. Výpočet kontrastů patří do pokročilejší práce s modely.

Funkce emmeans() pochází z balíčku emmeans; pokud jej nemáte, nainstalujte jej jednou příkazem install.packages("emmeans") v Console. Pracuje přímo s již fitovaným objektem mod_tri_druhy. Nefitujeme nový model. Pouze z téhož lineárního modeluStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). získáme průměrnou hmotnost odhadnutou pro každý druh. V tomto jednoduchém modelu s jediným kategoriálním prediktoremProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). jsou tyto hodnoty stejné jako skupinové průměry, které už známe z grafu.

# Ze stejného modelu získáme odhadnutý průměr každého druhu
prumery_druhu <-
  emmeans::emmeans(
    object = mod_tri_druhy,
    specs = ~ druh
  )

prumery_druhu

 druh      emmean   SE  df lower.CL upper.CL
 Adelie      3701 37.6 339     3627     3775
 Chinstrap   3733 56.1 339     3623     3843
 Gentoo      5076 41.7 339     4994     5158

Confidence level used: 0.95

Výstup objektu prumery_druhu ukazuje všechny tři průměry odhadnuté modelem. Sloupec emmean obsahuje průměrnou hmotnost: 3 700,7 g pro Adélie, 3 733,1 g pro Chinstrap a 5 076,0 g pro Gentoo. Sloupec SE je standardní chybaMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. každého průměru, df udává residuální stupně volnostiPočet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů. a lower.CL s upper.CL vymezují 95% interval pro každý skupinový průměr zvlášť.

Tyto intervaly popisují nejistotuRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb. jednotlivých průměrů; samy ještě nejsou intervaly jejich vzájemných rozdílů. Ty vzniknou až porovnáním odhadnutých průměrů mezi sebou. Metoda revpairwise zachová směr, který jsme používali v grafech: Chinstrap minus Adélie, Gentoo minus Adélie a Gentoo minus Chinstrap. Argument adjust = "tukey" říká, že intervaly a p-hodnoty mají zohlednit celou rodinu tří porovnání.

# Ze stejných odhadnutých průměrů vytvoříme tři párové rozdíly
post_hoc_druhy <-
  emmeans::contrast(
    object = prumery_druhu,
    method = "revpairwise",
    adjust = "tukey"
  )

summary(
  object = post_hoc_druhy,
  # První TRUE zobrazí intervaly, druhé t-testy a p-hodnoty
  infer = c(TRUE, TRUE)
)

 contrast           estimate   SE  df lower.CL upper.CL t.ratio p.value
 Chinstrap - Adelie     32.4 67.5 339     -127      191   0.480  0.8807
 Gentoo - Adelie      1375.4 56.1 339     1243     1508  24.495 <0.0001
 Gentoo - Chinstrap   1342.9 69.9 339     1178     1507  19.224 <0.0001

Confidence level used: 0.95 
Conf-level adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates 
P value adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates

Ve výstupu sledujeme řádky jednotlivých dvojic. Sloupec estimate je odhadnutý rozdíl průměrů, lower.CL a upper.CL jsou meze simultánního intervalu a p.value je p-hodnota upravená pro společnou rodinu porovnání. Poznámky pod výstupem potvrzují, že Tukeyho korekce byla použita pro intervaly i p-hodnoty. Přehledněji si stejné hodnoty uspořádáme do tabulky.

Tukeyho post-hoc rozdíly, simultánní intervaly a p-hodnoty upravené pro tři porovnání.
Porovnání	Rozdíl (g)	Dolní mez (g)	Horní mez (g)	Upravená p-hodnota
Chinstrap minus Adélie	32,4	-126,5	191,4	0,881
Gentoo minus Adélie	1375,4	1243,2	1507,5	< 0,001
Gentoo minus Chinstrap	1342,9	1178,5	1507,4	< 0,001

Tabulka zachovává hlavní čísla z výstupu summary(post_hoc_druhy). Graf je ukazuje na jedné ose: bod ukáže odhad rozdílu, vodorovná úsečka jeho simultánní interval a svislá čára nulu.

Tři fialové body rozdílů s oranžovými úsečkami intervalů: interval Chinstrap minus Adélie protíná čárkovanou nulu, oba rozdíly s Gentoo leží daleko vpravo od nuly. — Tři Tukeyho post-hoc rozdíly a simultánní 95% intervaly. Nula znamená stejné průměry dané dvojice.

Rozdíl Chinstrap minus Adélie je 32,4 g a simultánní interval od -126,5 do 191,4 g protíná nulu. Data tedy tento malý rozdíl neodlišují od nuly. Oba rozdíly zahrnující Gentoo jsou přibližně 1 343 až 1 375 g a jejich intervaly leží celé nad nulou.

Celková a párová otázka dávají různé informace

Analýza rozptyluStatistický test porovnávající průměry tří a více skupin zároveň; testuje, zda se alespoň jedna skupina průměrem liší od ostatních. ukázala, že všechny tři průměry nejsou stejné. Párová porovnání upřesnila proč: Gentoo se zřetelně liší od obou dalších druhů, zatímco Adélie a Chinstrap mají v tomto výběruSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. velmi podobné průměrné hmotnosti.

15 Co jednoduchý model neoddělil

Rozdíly mezi druhy jsou v těchto datech asociace. Jedinci nebyli náhodně přiřazeni ke druhům a druhy nebyly na ostrovech zastoupeny stejně.

Počet jedinců jednotlivých druhů na třech ostrovech.
Druh	Biscoe	Dream	Torgersen
tučňák kroužkový (Adélie)	44	56	51
tučňák uzdičkový (Chinstrap)	0	68	0
tučňák oslí (Gentoo)	123	0	0

Všichni tučňáci uzdičkoví v tomto výběruSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. pocházejí z ostrova Dream a všichni tučňáci oslí z ostrova Biscoe. Adélie byli měřeni na všech třech ostrovech. Jednoduchý model proto neumí oddělit druh od prostředí ostrova.

Pohlaví také souvisí s hmotností. Následující graf tuto strukturu pouze zviditelňuje; stále nefitujeme model s více prediktoryProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x..

Body hmotností tří druhů rozlišené barvou a tvarem podle pohlaví; uvnitř každého druhu leží samci převážně výše než samice. — Hmotnosti tří druhů rozlišené podle zaznamenaného pohlaví. Šedé body mají pohlaví nezaznamenané.

16 Co tedy můžeme říct o tučňácích?

Správný závěr nezačíná p-hodnotouPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data.. Jeho jádrem je velikost rozdílů v gramech a jejich nejistotaRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb.; testová informace a omezení studie je doplňují.

Sestavte závěr z pěti částí

Napište krátký odstavec v pořadí: biologická otázka → rozdíly v gramech → intervalyRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. → celkový a párový test → omezení zobecnění a kauzality.

Příklad opatrného závěru

Ptali jsme se, zda se liší průměrná hmotnost tří druhů tučňáků. V souboru 342 dospělých tučňáků z Palmerova souostroví byli tučňáci oslí (Gentoo) v průměru přibližně o 1 375 g těžší než tučňáci kroužkoví (Adélie) a o 1 343 g těžší než tučňáci uzdičkoví (Chinstrap); simultánní 95% intervaly obou rozdílů ležely celé nad nulou (od 1 243 do 1 508 g a od 1 178 do 1 507 g). Průměry Adélie a Chinstrap se lišily jen o 32 g a jejich interval od -127 do 191 g zahrnoval nulu, takže data tento malý rozdíl neodlišují od nuly. Celková analýza rozptylu byla s hypotézou tří stejných průměrů obtížně slučitelná (\(F(2, 339) = \text{343,63}\); p-hodnota < 0,001). Jde o observační data: druh je v souboru propojený s ostrovem a hmotnost souvisí také s pohlavím, proto rozdíly nelze vykládat jako přímý účinek druhu a závěr platí pro sledované kolonie.

17 Co bude následovat dál

Model s jediným kategoriálním prediktorem odpovídá na jednu otázku: jak se liší průměry druhů. Neumí ale oddělit druh od ostrova nebo pohlaví. Změnil by se odhad rozdílu mezi druhy, kdybychom porovnávali jedince stejného pohlaví nebo současně zohlednili ostrov? Na to potřebujeme model s více prediktoryProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x., kterým se zabývá následující lekce.

18 Shrnutí

Kategoriální prediktorProměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). nemění lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). v úplně jinou metodu; mění způsob, jakým model vytváří odhadnuté hodnotyHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ..
Ve dvouskupinovém modelu je interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y). průměrSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). referenční skupiny a druhý koeficient rozdíl druhé skupiny vůči referenci.
Odhadnuté hodnoty jsou skupinové průměry a residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. jsou vzdálenosti jednotlivých pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných. od jejich skupinového průměru.
Dvouvýběrový t-testStatistický test porovnávající průměry dvou skupin (nebo průměr s konstantou); ekvivalent lineárního modelu se dvěma úrovněmi faktoru. se společným rozptylemPrůměr čtverců odchylek od průměru; míra variability dat. Odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka. je test koeficientu dvouskupinového lineárního modelu.
Rozdíl mezi průměry posuzujeme vzhledem k variabilitěObecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu. uvnitř skupin. Na tomto porovnání stojí analýza rozptyluStatistický test porovnávající průměry tří a více skupin zároveň; testuje, zda se alespoň jedna skupina průměrem liší od ostatních.: celkový F-test říká, zda jsou všechny průměry slučitelné se stejnou hodnotou, ale ne, která dvojice se liší.
Post-hoc porovnáníTest prováděný po signifikantní ANOVA k identifikaci, které konkrétní páry skupin se od sebe liší; opravuje p-hodnoty pro mnohonásobné porovnávání. odpovídají na navazující otázky o konkrétních dvojicích a s Tukeyho úpravou zohledňují, že zkoumáme více dvojic současně.
Biologický závěr začíná rozdíly v gramech a jejich nejistotouRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb. a končí předpoklady a omezeními studie.

18.1 Jak lekce navazuje na předchozí

Dřívější myšlenka	Jak se objevila v této lekci
Typ proměnné určuje vhodný popis	Numerickou hmotnost jsme vysvětlovali kategoriálním druhem.
Graf předchází modelu	Jednotlivci, překryv a variabilita byli vidět dříve než průměry a koeficienty.
\(y_i=\hat{y}_i+e_i\)	Odhadnuté hodnoty se změnily z bodů na přímce na skupinové průměry; residua zůstala vzdálenostmi od odhadu.
Efekt a jeho nejistota jsou dvě informace	Rozdíly v gramech jsme doplnili intervaly spolehlivosti.
Test je otázka o parametru	Dvouvýběrový t-test se stal testem koeficientu a analýza rozptylu celkovou otázkou o všech skupinových průměrech.
Závěr není jen p-hodnota	Výsledek spojil velikost rozdílů, intervaly, testy, diagnostiku a omezení studie.

18.2 Závěrečná otázka

Co potřebujete vědět, než napíšete „druh určuje hmotnost tučňáka“?

Představte si, že vám někdo ukáže jen tuto větu a malou p-hodnotu analýzy rozptylu. Jaké tři otázky mu položíte?

Možná odpověď

O kolik gramů se druhy liší a jak široké jsou intervaly těchto rozdílů? Které konkrétní dvojice se liší, a které ne (Adélie a Chinstrap jsou si velmi podobné)? Sedí model k datům, tedy jak vypadají residua? A je možné rozdíl připsat druhu, když jsou druhy v souboru propojené s ostrovy a hmotnost souvisí i s pohlavím? Slovo „určuje“ navíc naznačuje příčinu, kterou observační data sama neprokážou.

Slovníček pojmů

Pojmy použité v těchto materiálech a jejich definice. Úplný průběžně aktualizovaný slovníček je dostupný také online.

term	definition
anova	Statistický test porovnávající průměry tří a více skupin zároveň; testuje, zda se alespoň jedna skupina průměrem liší od ostatních.
binarni-promenna	Proměnná nabývající právě dvou hodnot, nejčastěji 0/1, přítomnost/nepřítomnost, ano/ne.
diagnostika-modelu	Soubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů.
f-statistika	Testová statistika porovnávající rozptyl vysvětlený modelem s rozptylem nevysvětleným (reziduálním); vyšší F = vyšší poměr signal:šum.
hladina-spolehlivosti	Zvolená dlouhodobá úspěšnost postupu pro konstrukci intervalu spolehlivosti, například 95 %, při opakování za srovnatelných podmínek a splnění předpokladů.
intercept	Parametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y).
interval-spolehlivosti	Rozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr.
iqr	Rozdíl mezi 3. kvartilem (Q3) a 1. kvartilem (Q1); pokrývá prostředních 50 % dat a je robustní vůči odlehlým pozorováním.
kategoricka-promenna	Proměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím).
kriticka-hodnota	Násobek standardní chyby použitý při konstrukci intervalu nebo testu; závisí například na hladině spolehlivosti, stupních volnosti a zvoleném rozdělení.
linearni-model	Statistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε).
median	Hodnota rozdělující seřazená data na dvě stejně početné poloviny; 50. percentil.
nejistota	Rozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb.
nulova-hypoteza	Výchozí předpoklad, který testujeme - typicky 'efekt je nulový' nebo 'skupiny se neliší'; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀.
numericka-promenna	Proměnná, jejíž hodnoty jsou čísla se smysluplnou velikostí nebo rozdílem; může být diskrétní, například počet, nebo spojitá, například délka.
odezva	Proměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu `y ~ x` je odezva `y`.
odhad	Číslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad.
odhadnuta-hodnota	Hodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ.
p-hodnota	Pravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data.
post-hoc-test	Test prováděný po signifikantní ANOVA k identifikaci, které konkrétní páry skupin se od sebe liší; opravuje p-hodnoty pro mnohonásobné porovnávání.
pozorovani	Jeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných.
prediktor	Proměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci `y ~ x` je prediktor `x`.
promenna	Vlastnost zaznamenaná u pozorování, která může mezi pozorováními nabývat různých hodnot, například druh, délka nebo počet.
prumer	Součet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty).
qq-graf	Graf, který porovnává seřazené hodnoty (typicky residua) s kvantily očekávanými u zvoleného rozdělení, nejčastěji normálního.
residuum	Rozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.
rozdeleni	Popis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení.
rozptyl	Průměr čtverců odchylek od průměru; míra variability dat. Odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka.
sklon	Parametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).
smerodatna-odchylka	Odmocnina rozptylu; vyjadřuje průměrnou vzdálenost hodnot od průměru ve stejných jednotkách jako původní data.
soucet-ctvercu-residui	Součet druhých mocnin všech residuí; vyjadřuje celkovou čtvercovou odchylku pozorovaných hodnot od hodnot odhadnutých modelem.
standardni-chyba	Míra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace.
stupne-volnosti	Počet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů.
t-test	Statistický test porovnávající průměry dvou skupin (nebo průměr s konstantou); ekvivalent lineárního modelu se dvěma úrovněmi faktoru.
variabilita	Obecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu.
vyber	Soubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces.

1 Úvod

2 Výsledky učení

3 Data: jeden řádek je jeden změřený tučňák

4 Hmotnosti tučňáků kroužkových a oslích

4.1 Průměr a směrodatná odchylkaOdmocnina rozptylu; vyjadřuje průměrnou vzdálenost hodnot od průměru ve stejných jednotkách jako původní data. každého druhu

5 Rozdíl průměrůSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty).

5.1 Stejný rozdíl, jiná variabilita

6 Stejný lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε)., jiný prediktorProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x.

6.1 Připomenutí: přímka pro délku ploutve a hmotnost

6.2 Kde je interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y).?

6.3 Kde je sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).?

6.4 Kde je residuumRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.?

6.5 Stejné koeficienty ve výstupu R

7.1 Rovnice se dvěma hodnotami přepínače

8 Dvouskupinový model v R

9 Odhadnuté hodnotyHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ. a residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. nezmizely

10 Jak velký a přesný je rozdíl dvou druhů?

10.1 Je rozdíl slučitelný s nulou?

10.2 Historická poznámka: dvouvýběrový t-testStatistický test porovnávající průměry dvou skupin (nebo průměr s konstantou); ekvivalent lineárního modelu se dvěma úrovněmi faktoru. v literatuře

11 Tři druhy, stejná formule

11.1 Tři skupiny potřebují dva přepínače

12 Popisuje model data rozumně?

13 Jedna celková otázka: analýza rozptyluStatistický test porovnávající průměry tří a více skupin zároveň; testuje, zda se alespoň jedna skupina průměrem liší od ostatních.

13.1 Jeden společný průměr proti třem skupinovým průměrům

13.2 Co porovnává F-statistikaTestová statistika porovnávající rozptyl vysvětlený modelem s rozptylem nevysvětleným (reziduálním); vyšší F = vyšší poměr signal:šum.

13.3 Jak číst tabulku anova() řádek po řádku

13.4 Jak se z F-statistiky stane p-hodnota

14 Post-hocTest prováděný po signifikantní ANOVA k identifikaci, které konkrétní páry skupin se od sebe liší; opravuje p-hodnoty pro mnohonásobné porovnávání.: které dvojice se liší?

15 Co jednoduchý model neoddělil

16 Co tedy můžeme říct o tučňácích?

17 Co bude následovat dál

18 Shrnutí

18.1 Jak lekce navazuje na předchozí

18.2 Závěrečná otázka

Slovníček pojmů

13.3 Jak číst tabulku `anova()` řádek po řádku