Co nám statistický test dovoluje tvrdit?

Od velikosti efektu k opatrnému vědeckému závěru

Publikováno

30. července 2026

Upraveno

9. října 2026

1 Úvod

V předchozí lekci jsme k odhaduČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. sklonuParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). přidali jeho nejistotuRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb.: standardní chybuMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. a interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr.. Ve výpisu summary() ale zůstaly dva sloupce, které jsme zatím přeskočili: t value a Pr(>|t|). Patří k otázce, kterou si klade každá empirická věda: co můžeme na základě dat tvrdit a jaké pozorování by nás přimělo změnit názor?

1.1 Měsíc ze sýra?

Představte si, že někdo pronese naprosto vážně:

TipTvrzení, které budeme zkoumat

Měsíc je celý ze sýra.

Nejspíš se zasmějete. Přesto je na této větě něco užitečného: můžeme přemýšlet, jak bychom ji ověřovali. Mohli bychom zkoumat měsíční horniny, jejich složení nebo fyzikální vlastnosti.

Tvrzení je tedy testovatelné. To ale neznamená, že je věrohodné. Všechno, co už o Měsíci víme, mluví silně proti němu.

QuestionZkuste si — Čtyři velmi rozdílná tvrzení

Nejprve si odpovězte sami. Potom rozbalte možné odpovědi a porovnejte s nimi svou úvahu:

  1. Dá se věta zkoumat pomocí pozorování?
  2. Je podle současných znalostí věrohodná?
  3. Jaké pozorování by vás přimělo změnit názor?
Tvrzení
Měsíc je celý ze sýra
Všechny labutě jsou bílé
Holub stěhovavý vyhynul
Tento pták je nejkrásnější
Tvrzení Co lze pozorovat? Co by silně změnilo závěr?
Měsíc je celý ze sýra složení měsíčních hornin důvěryhodný vzorek s vlastnostmi sýra
Všechny labutě jsou bílé barvu nalezených labutí jediná spolehlivě určená ne-bílá labuť
Holub stěhovavý vyhynul přítomnost živých jedinců jediný spolehlivě doložený živý jedinec
Tento pták je nejkrásnější preference různých lidí nejde o stejný druh empirického tvrzení

U vyhynulého holuba je navíc vidět důležitá nesymetrie. Nález živého jedince by závěr změnil okamžitě. Když žádného nenajdeme, jistota je menší: možná jsme hledali na špatném místě nebo jsme ho přehlédli.

QuestionRychlá zastávka — Testovatelné neznamená pravděpodobné

Student řekne: „Když lze tvrzení o sýrovém Měsíci testovat, musíme ho brát stejně vážně jako geologické vysvětlení.“ Co se v jeho úvaze pokazilo?

Testovatelnost říká jen to, že tvrzení můžeme porovnat s pozorováním. Kolik váhy mu dáme, závisí na tom, co už o světě víme. Geologické vysvětlení podporuje obrovské množství měření měsíčních hornin, sýrový Měsíc žádné. Obě tvrzení jsou testovatelná, ale nejsou stejně věrohodná.

Věda tedy není stroj, který po jednom pokusu vytiskne pravda nebo nepravda. Záleží také na kvalitě měření, uspořádání studie, předpokladech modelu, předchozích znalostech a výsledcích dalších studií.

Statistický test bude jen jedním dílkem tohoto většího obrazu.

2 Výsledky učení

Po prostudování této lekce budete schopni:

3 Každý řádek je jedno slanisko

Přesuňme se od Měsíce k otázce, u které odpověď předem neznáme:

QuestionHlavní biologická otázka

Jsou samci atlantského kraba houslisty Minuca pugnax v průměruSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). větší na severněji položených slaniskách?

Biologové si už dlouho všímají, že organismy bývají v chladnějších oblastech větší. Tomuto vzoru se říká Bergmannovo pravidlo. Neplatí automaticky pro každý druh a samo nevysvětluje, proč by měl případný vztah vznikat. Platí něco podobného i pro naše kraby?

V létě 2016 vědci navštívili slaniska mezi Floridou a Massachusetts a na každém změřili dospělé samce. Pro hlavní analýzu máme jejich průměry: každý řádek tabulky představuje jedno slanisko. Naší jednotkou pozorováníEntita nebo děj, o kterém jedno pozorování nese informace, například jedinec, plocha, vzorek vody nebo jedna erupce. je proto slanisko, nikoli jednotlivý krab.

Soubor pie_crab_site_means.csv je součástí materiálů. Pro následující kód jej uložte do složky data ve svém projektu v R. Načteme ho a zkontrolujeme názvy a typy sloupců:

# Načteme tabulku s jedním řádkem pro každé slanisko
data_lokality <-
  read.csv(file = "data/pie_crab_site_means.csv")

# Zkontrolujeme názvy a typy sloupců
str(object = data_lokality)
'data.frame':   13 obs. of  5 variables:
 $ kod_lokality     : chr  "GTM" "SI" "NIB" "ZI" ...
 $ nazev_lokality   : chr  "Guana Tolomoto Matanzas NERR" "Sapelo Island NERR" "North Inlet Winyah Bay NERR" "Zeke's Island NERR" ...
 $ zemepisna_sirka  : num  30 31.4 33.3 34 34.7 37.2 39.1 39.6 41.3 41.6 ...
 $ pocet_krabu      : int  28 30 30 35 25 30 30 30 33 29 ...
 $ prumerna_sirka_mm: num  12.4 9.85 13.29 12.06 12.49 ...

Tabulka má pět sloupců:

Kontrola dat pokračuje rozsahy číselných sloupců a chybějícími hodnotami:

# Vybereme číselné sloupce
vec_ciselne_sloupce <-
  c("zemepisna_sirka", "pocet_krabu", "prumerna_sirka_mm")

# Minimum, kvartily, průměr a maximum číselných sloupců
summary(object = data_lokality[, vec_ciselne_sloupce])
 zemepisna_sirka  pocet_krabu    prumerna_sirka_mm
 Min.   :30.00   Min.   :25.00   Min.   : 9.854   
 1st Qu.:34.00   1st Qu.:28.00   1st Qu.:12.492   
 Median :39.10   Median :30.00   Median :15.275   
 Mean   :37.62   Mean   :30.15   Mean   :14.667   
 3rd Qu.:41.60   3rd Qu.:30.00   3rd Qu.:16.336   
 Max.   :42.70   Max.   :37.00   Max.   :18.504   
# Počet chybějících hodnot v každém sloupci
colSums(x = is.na(x = data_lokality))
     kod_lokality    nazev_lokality   zemepisna_sirka       pocet_krabu 
                0                 0                 0                 0 
prumerna_sirka_mm 
                0

Tabulka obsahuje 13 slanisek mezi 30,0 a 42,7 ° s. š. Na každém bylo změřeno 25 až 37 samců a průměrná šířka krunýře se pohybuje od 9,9 do 18,5 mm. Žádný sloupec nemá chybějící hodnoty. Rozsahy odpovídají pobřeží mezi Floridou a Massachusetts i velikosti dospělých krabů, takže nic nenaznačuje chybu jednotek.

Celá tabulka je tak malá, že ji můžeme zobrazit najednou:

Průměry sledovaných slanisek, které použijeme v hlavním modelu.
Lokalita Šířka (° s. š.) n Průměr (mm)
GTM 30,0 28 12,40
SI 31,4 30 9,85
NIB 33,3 30 13,29
ZI 34,0 35 12,06
RC 34,7 25 12,49
VCR 37,2 30 16,34
DB 39,1 30 15,60
JC 39,6 30 15,27
CT 41,3 33 14,69
NB 41,6 29 17,14
CC 41,9 27 16,82
BC 42,2 37 16,20
PIE 42,7 28 18,50

Data pocházejí z výukového souboru lterdatasampler::pie_crab, zveřejněného pod licencí CC0. Původní data jsou uložena v Environmental Data Initiative a související studie vyšla v časopise Ecology and Evolution (Johnson et al., 2019).

Mapa atlantského pobřeží USA od Floridy po Massachusetts s oranžovými body sledovaných slanisek.

Každý oranžový bod představuje jedno sledované slanisko podél atlantského pobřeží USA. Souřadnice pocházejí z tabulky 1 související studie.

Při prvním čtení můžete následující čtyři boxy „Doplňující“ přeskočit. Hlavní krabí příběh pokračuje grafem průměrů a přímkou.

Původní tabulka obsahuje 392 jednotlivých krabů. Pro hlavní analýzu jsme je zprůměrovali po lokalitách.

Data jsou přímo součástí balíčku lterdatasampler. Následující kód je načte, srozumitelně přejmenuje, vytvoří průměry slanisek a uloží obě výukové tabulky. V dalších částech lekce už načítáme připravené CSV soubory.

# Balíček stačí nainstalovat jednou:
# install.packages("lterdatasampler")

data("pie_crab", package = "lterdatasampler")

# Přejmenujeme sloupce tak, aby se s nimi v lekci dobře pracovalo.
data_krabi <-
  data.frame(
    datum = as.Date(pie_crab$date),
    zemepisna_sirka = pie_crab$latitude,
    kod_lokality = pie_crab$site,
    nazev_lokality = pie_crab$name,
    sirka_krunyre_mm = pie_crab$size
  )

# Pro každou lokalitu spočítáme průměrnou šířku krunýře.
data_prumery <-
  aggregate(
    sirka_krunyre_mm ~
      kod_lokality + nazev_lokality + zemepisna_sirka,
    data = data_krabi,
    FUN = mean
  )

# Zvlášť spočítáme počet změřených krabů na každé lokalitě.
data_pocty <-
  aggregate(
    sirka_krunyre_mm ~ kod_lokality,
    data = data_krabi,
    FUN = length
  )

Průměry a počty teď spojíme do jedné tabulky s jedním řádkem pro každé slanisko. Nakonec uložíme jak jednotlivá měření, tak připravené průměry.

# Obě souhrnné tabulky spojíme podle kódu lokality.
data_lokality <-
  merge(
    x = data_prumery,
    y = data_pocty,
    by = "kod_lokality",
    suffixes = c("_prumer", "_pocet")
  )

names(data_lokality)[
  names(data_lokality) == "sirka_krunyre_mm_prumer"
] <- "prumerna_sirka_mm"

names(data_lokality)[
  names(data_lokality) == "sirka_krunyre_mm_pocet"
] <- "pocet_krabu"

# Seřadíme lokality od jihu k severu a ponecháme potřebné sloupce.
data_lokality <-
  data_lokality[
    order(data_lokality$zemepisna_sirka),
    c(
      "kod_lokality",
      "nazev_lokality",
      "zemepisna_sirka",
      "pocet_krabu",
      "prumerna_sirka_mm"
    )
  ]

Připravené tabulky uložíme jako CSV. Díky tomu může hlavní část lekce začít jednoduchým read.csv() a nemusí přípravu opakovat při každém renderu.

# Uložíme jednotlivé kraby i připravené průměry lokalit.
write.csv(
  data_krabi,
  file = "data/pie_crab.csv",
  row.names = FALSE
)

write.csv(
  data_lokality,
  file = "data/pie_crab_site_means.csv",
  row.names = FALSE
)

Na obrázku jsou jednotliví krabi světle šedě. Velké body jsou průměry slanisek, které používáme v modelu.

Bodový graf šířky krunýře jednotlivých krabů proti zeměpisné šířce; světlé body jsou jedinci, velké tmavé body průměry slanisek.

Jednotliví krabi sdílejí zeměpisnou šířku svého slaniska. Velké body zobrazují průměry použité v hlavním modelu.

V této lekci proto pracujeme se 13 průměry lokalit. Proč nelze jednotlivé kraby bez dalšího považovat za 392 nezávislých odpovědí na otázku o zeměpisné šířce, probereme později u hierarchických datData, kde pozorování nejsou zcela nezávislá - jsou seskupena do vyšší úrovně (lokality, bloky, jedinci s opakovanými měřeními)..

4 Co říká známá přímka?

QuestionNež se podíváte — Jaký obrázek by podpořil naši domněnku?

Než si hodnoty zobrazíte v grafu, načrtněte si očekávaný obrázek.

  • Co bude na vodorovné ose?
  • Co bude na svislé ose?
  • Jak by měly body vypadat, kdyby byli krabi na severu větší?
  • Jaký vzor by naopak mluvil proti této představě?

Teď už můžeme body opravdu zobrazit. Každý bod je průměrSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). jednoho slaniska.

Bodový graf průměrné šířky krunýře proti zeměpisné šířce s popisky lokalit a rostoucí fialovou přímkou modelu.

Průměrná šířka krunýře na sledovaných slaniskách. Fialová přímka je jednoduchý lineární model.

Body směrem doprava převážně stoupají. Na severnějších lokalitách tedy mají krabi v průměru širší krunýře. Přímku fitujeme stejným příkazem lm(), který už znáte:

# Fitujeme přímku přes průměry slanisek
mod_krabi <-
  lm(
    formula = prumerna_sirka_mm ~ zemepisna_sirka,
    data = data_lokality
  )

# Zobrazíme celý přehled modelu.
summary(object = mod_krabi)

Call:
lm(formula = prumerna_sirka_mm ~ zemepisna_sirka, data = data_lokality)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.77895 -0.74796  0.05101  0.73779  1.87228 

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     -3.74716    3.00884  -1.245    0.239    
zemepisna_sirka  0.48953    0.07948   6.159 7.11e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.226 on 11 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7752,    Adjusted R-squared:  0.7548 
F-statistic: 37.94 on 1 and 11 DF,  p-value: 7.112e-05
# Zobrazíme 95% intervaly spolehlivosti obou koeficientů.
confint(object = mod_krabi)
                      2.5 %    97.5 %
(Intercept)     -10.3695640 2.8752446
zemepisna_sirka   0.3146022 0.6644593

V první tabulce už z předchozích lekcí umíme najít řádek se sklonemParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). (zemepisna_sirka). Ve sloupci Estimate je jeho odhadČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. 0,490 mm na stupeň. Vedle něj je známá standardní chybaMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. 0,0795 mm na stupeň. Příkaz confint() pak ukazuje 95% intervalRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. od 0,315 do 0,664 mm na stupeň.

Model odhaduje také interceptParametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y).. Ten by zde popisoval šířku krabů na rovníku, daleko mimo sledovaný rozsah, a pro naši biologickou otázku není zajímavý. Sloupce t value a Pr(>|t|), zmíněné v úvodu, zatím necháme stranou.

4.1 Dobrá praxe: po každém modelu zkontrolujeme residua

Výpis koeficientů není konec práce. Stejně jako v minulé lekci se hned po fitování modelu podíváme na residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. — rozdíly mezi pozorovanými průměry lokalit a hodnotami na přímce. Tuto kontrolu budeme dělat pokaždé, když fitujeme lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε)..

# Z modelu získáme residua a hodnoty odhadnuté přímkou.
vec_residua_krabi <- resid(object = mod_krabi)
vec_odhadnute_hodnoty <- fitted(object = mod_krabi)

První graf ukazuje rozděleníPopis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení. residuí. Hodnota nula znamená, že bod leží přesně na přímce; kladná a záporná residua leží na opačných stranách přímky.

Fialová křivka hustoty residuí s čárkovanou svislou čarou v nule a krátkými oranžovými čárkami pro jednotlivé lokality.

Vyhlazený odhad rozdělení residuí krabího modelu. Krátké čárky dole označují jednotlivé lokality.

Druhý graf vrací každé residuum k hodnotě odhadnuté modelemHodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ. pro danou lokalitu. Hledáme body rozptýlené kolem nuly bez zřetelného oblouku nebo trychtýře.

Bodový graf residuí proti odhadnutým hodnotám s čárkovanou vodorovnou čarou v nule a popisky lokalit.

Residua proti hodnotám odhadnutým modelem. Popisky umožňují spojit neobvyklé residuum s konkrétní lokalitou.
QuestionPřečtěte diagnostické grafy
  • Jsou kladná i záporná residua zastoupena kolem nuly?
  • Vidíte v grafu residuí proti odhadnutým hodnotám oblouk, trychtýř nebo jiný systematický vzor?
  • Které lokality mají největší residua?
  • Co můžeme z tak malého počtu bodů posoudit jen velmi opatrně?

Grafy neukazují nápadný systematický vzor, ale 13 lokalit je málo pro sebevědomou diagnostikuSoubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů. tvaru rozdělení. Kontrola tedy neodhalila zřejmý problém; stále však musíme pamatovat na malý počet lokalit a jednoduchost modelu.

Stejný modelový výsledek budeme dále číst podmíněně: všechny následující závěry o velikosti vztahu a nejistotěRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb. předpokládají, že zvolená přímka, chování residuí a nezávislost lokalit jsou pro naši otázku přiměřené. Diagnostika nemůže dokázat správnost modelu, ale pomáhá odhalit zřetelný rozpor dříve, než začneme interpretovat další čísla z modelu.

Sklon 0,490 mm na jeden stupeň říká:

DůležitéVýznam sklonu v našem modelu

Podle fitované přímky je na lokalitě o 1° severněji průměrná šířka krunýře větší přibližně o 0,490 mm.

To je odpověď na otázku „o kolik?“. Takovému číselnému popisu změny říkáme efektKvantitativní popis toho, jak se podle modelu mění odezva s prediktorem; zahrnuje směr, velikost a nejistotu odhadu, ale sám o sobě nedokládá příčinu.; v tomto modelu ho nejlépe vyjadřuje sklon v milimetrech na stupeň. V dalších krocích se budeme ptát, jak přesný odhad je a jak neobvyklý by byl, kdyby ve skutečnosti žádný vztah neexistoval.

4.2 Co znamená sklon v milimetrech na stupeň?

Změna o 0,49 mm na jeden stupeň se těžko představuje. Co by takový sklon znamenal při cestě o 5 stupňů na sever? A co mezi Floridou a Massachusetts?

  • na 1°: 0,490 mm;
  • na 5°: 2,45 mm;
  • přes celý pozorovaný rozsah 12,7°: 6,22 mm.

Tři fialové sloupce odhadnuté změny průměrné šířky krunýře pro rozdíl 1°, zvolený větší rozdíl a celý pozorovaný rozsah.

Tentýž sklon přepočtený na 1°, na zvolený větší rozdíl a na celý rozsah sledovaných zeměpisných šířek.

Průměrné šířky krunýře se na slaniskách pohybují přibližně mezi 9,9 a 18,5 mm. Rozdíl kolem 6,22 mm přes celé sledované pobřeží proto stojí za biologickou pozornost.

QuestionZkuste si — Je to biologicky hodně?
  1. Které měřítko se vám interpretuje nejsnáze: 1°, 5°, nebo celý rozsah?
  2. Je změna přibližně 6,22 mm velká vzhledem k šířce krabů v tabulce?
  3. Jakou další biologickou informaci byste potřebovali, abyste význam rozdílu posoudili lépe?
  4. Mohla by studie najít velmi přesně změnu, která je biologicky zanedbatelná?

Přes celé sledované pobřeží odpovídá sklon změně asi 6,22 mm, tedy zhruba 42 % průměrné šířky krunýře. Takový rozdíl lze v terénu změřit a může souviset například s plodností nebo soubojem samců. K lepšímu posouzení bychom potřebovali vědět, jak velké rozdíly ve velikosti mají pro kraby biologické důsledky. A ano: velmi přesná studie, třeba s tisíci lokalitami, může přesně odhadnout i změnu, která je biologicky zanedbatelná.

5 Jeden odhad nestačí

SklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). 0,490 mm na stupeň je náš nejlepší bodový odhadČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad.. Naše slaniska ale nejsou jediná, která jsme mohli navštívit. Jiný výběrSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. by nejspíš dal trochu jiný sklon.

Právě proto jsme se v minulé lekci učili číst standardní chybuMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. a interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr..

U krabího sklonu máme:

  • odhad 0,490 mm na stupeň;
  • standardní chybu 0,0795 mm na stupeň;
  • 95% interval od 0,315 do 0,664 mm na stupeň.

Oranžový bod odhadu sklonu s fialovým vodorovným intervalem spolehlivosti, který celý leží v kladných hodnotách.

Odhad sklonu a jeho 95% interval spolehlivosti.
QuestionZastavte se u obrázku — Co všechno ještě připouští interval?
  • Kde leží bodový odhad?
  • Jaké malé i velké změny připouští celý interval?
  • Jsou všechny biologicky stejně zajímavé?
  • Co by pro naše sebevědomí znamenal mnohem širší interval?

Všechny hodnoty v intervalu popisují růst velikosti směrem na sever. Liší se v tom, jak rychlý by tento růst mohl být.

6 Co kdyby ve skutečnosti žádný trend nebyl?

Z modelu už známe velikost vztahu i nejistotuRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb. odhaduČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad.. K našemu výsledku teď postavíme jednu přesnou soupeřící možnost.

Představte si skeptickou kolegyni. Podívá se na graf a řekne:

Možná mezi zeměpisnou šířkou a průměrnou velikostíSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). krabů v populaci žádný lineární vztah není. Těchto 13 bodů náhodou vyšlo rostoucích.

Jak by takový svět vypadal v našem modelu? Kdyby měla přímka sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). nula, průměrná velikost krabů by se při cestě na sever neměnila. To ale neznamená, že by všechny lokality měly úplně stejný průměr.

I ve světě bez severojižního trendu by mezi lokalitami zůstávaly rozdíly. Mohly by vznikat například:

Budeme tedy skládat simulovaná data ze dvou částí: systematický sklon nastavíme na nulu, ale kolem vodorovné přímky ponecháme náhodnou variabilituObecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu..

Tuto druhou část už známe z diagnostiky modeluSoubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů.. Rozdíl mezi hodnotou lokality a hodnotou na přímce jsme nazvali residuumRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.. V simulaci ke každé lokalitě vytvoříme nové náhodné residuum a přičteme ho k vodorovné přímce. Residua budou v průměru nulová, ale jednotlivě mohou být kladná i záporná. Jejich typickou velikost nastavíme podle reziduální směrodatné odchylkyOdhad typické velikosti residuí v jednotkách odezvy; popisuje rozptýlení pozorování kolem hodnot odhadnutých modelem. našeho krabího modelu, přibližně 1,23 mm.

Právě tato simulovaná residua způsobí, že přímka fitovaná jednomu náhodnému souboru nemusí vyjít přesně vodorovná — stejně jako skutečná residua způsobují, že pozorované body neleží přesně na fitované přímce.

Porovnáváme tedy dvě možnosti:

Možnost Co říká o krabech
Nulová možnost Průměrná velikost se se zeměpisnou šířkou lineárně nemění. Sklon je 0 mm na stupeň.
Alternativní možnost Průměrná velikost se se zeměpisnou šířkou lineárně mění. Sklon není 0 mm na stupeň.

Nula se zde nevzala z obecného statistického pravidla. Patří k naší konkrétní otázce: v lineárním modeluStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). znamená sklon 0 přesně žádnou změnu průměrné velikosti při cestě na sever.

Tutéž dvojici můžeme zapsat zkráceně. Symbol \(\beta_{\text{zem. šířka}}\) označuje sklon vztahu k zeměpisné šířce v širší populaci lokalit, který se snažíme odhadnout pomocí našich 13 slanisek:

\[ H_0:\ \beta_{\text{zem. šířka}}=0 \qquad\text{a}\qquad H_A:\ \beta_{\text{zem. šířka}}\ne0 \]

Nulová hypotézaVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. \(H_0\) je právě nulová možnost z tabulky. Alternativní hypotéza \(H_A\) připouští růst i pokles.

Nulová hypotéza tedy neříká, že každý soubor 13 slanisek musí dát odhad sklonu přesně nula. Říká, že dlouhodobý systematický trend je nulový. Náhodná variabilita kolem něj může v jednotlivém souboru vytvořit mírně rostoucí i mírně klesající přímku.

Tento nulový svět teď prozkoumáme simulací. Ponecháme stejné zeměpisné šířky jako v našich datech. Pro každou z nich vygenerujeme průměrnou velikost jako stejnou základní úroveň plus nové náhodné residuum. V simulaci tedy není žádný systematický růst k severu, ale lokality se stále liší. Každému novému souboru potom fitujeme přímku.

QuestionPředpovězte výsledek simulace
  • Budou všechny odhadnuté sklony přesně nulové?
  • Kolem jaké hodnoty se budou shlukovat?
  • Mohou občas vzniknout i výrazně kladné nebo záporné sklony?
  • Kam by asi patřil náš sklon 0,490 mm na stupeň?

Zkusme si taková data vyrobit. Všechny lokality dostanou stejnou očekávanou velikost, takže vložený sklon je nula. Ke každé lokalitě ale přidáme nové residuum podobně velké jako residua kolem skutečné krabí přímky. Začneme dvaceti takovými náhodnými studiemi.

Dvacet malých bodových grafů simulovaných studií bez trendu; fialové fitované přímky v nich mírně stoupají i klesají.

Dvacet náhodných studií vytvořených ve světě s nulovým sklonem. Od vodorovné přímky jsme ke každé lokalitě přičetli nové náhodné residuum. Každá studie obsahuje stejný počet bodů jako naše data a vlastní fitovanou přímku.

Přestože jsme žádný trend nevložili, některé přímky stoupají a jiné klesají. Náhoda tedy dokáže vytvořit nenulový odhad. Stejnou studii zopakujeme 5 000krát a z každé si ponecháme jen odhadnutý sklon.

Šedý histogram simulovaných sklonů soustředěný kolem nuly; oranžová čára pozorovaného sklonu leží daleko vpravo.

Sklony z 5 000 simulovaných souborů, ve kterých byl skutečný sklon nulový. Šedá čárkovaná čára označuje nulu, oranžová pozorovaný sklon.

Většina sklonů leží blízko nuly. Náš pozorovaný sklon je daleko vpravo. Abychom mohli říct jak daleko, potřebujeme vzdálenost vyjádřit vzhledem k nejistotě odhadu.

7 Jak daleko jsme od vodorovné přímky?

Nejprve si sepíšeme známá čísla:

Co známe Hodnota
Pozorovaný sklon (Estimate) 0,490 mm na 1°
Sklon vodorovné přímky (nulová hodnota) 0 mm na 1°
Rozdíl od nuly (Estimate − nulová hodnota) 0,490 mm na 1°
Standardní chyba sklonu (Std. Error) 0,0795 mm na 1°

Otázka zní: Kolikrát se standardní chybaMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. vejde do vzdálenosti mezi naším sklonemParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). a nulou?

\[ \frac{ \text{pozorovaný sklon}-\text{nulový sklon} }{ \text{standardní chyba sklonu} } \]

Dosadíme:

\[ \frac{ \text{0,490}-0 }{ \text{0,0795} } \approx \text{6,16}. \]

Náš sklon tedy leží přibližně 6,16 standardních chyb od nuly.

Statistici tuto vzdálenost označují písmenem \(t\). Stejný výpočet se obecně zapisuje:

\[ t= \frac{ \hat{\beta}_{\text{šířka}}-0 }{ \operatorname{SE}(\hat{\beta}_{\text{šířka}}) }. \]

Symbol \(\hat{\beta}_{\text{šířka}}\) označuje odhadnutýČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. sklon; stříška odlišuje odhad z našich dat od neznámého populačního sklonu \(\beta_{\text{zem. šířka}}\). Nula je hodnota sklonu podle nulové hypotézyVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. a \(\operatorname{SE}(\hat{\beta}_{\text{šířka}})\) standardní chyba odhadu. Výslednému číslu se říká t-statistika.

QuestionZkuste si — Spočítejte t a řekněte, co znamená
  1. Odečtěte nulový sklon od pozorovaného.
  2. Vydělte rozdíl standardní chybou.
  3. Doplňte větu: „Pozorovaný sklon leží přibližně …“
  4. Vysvětlete, proč t-statistika není velikostí biologického efektuKvantitativní popis toho, jak se podle modelu mění odezva s prediktorem; zahrnuje směr, velikost a nejistotu odhadu, ale sám o sobě nedokládá příčinu..

T-statistika je standardizovaná vzdálenost od jedné konkrétní hodnoty. Velké \(|t|\) může vzniknout velkým efektem, vysokou přesností, nebo obojím.

8 Malá odbočka: kolik volnosti zbývá?

Stejná hodnota \(t\) není stejně neobvyklá ve studii se čtyřmi body a ve studii se čtyřmi tisíci body. Při malém množství informace odhadujemeČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. šum méně stabilně a musíme být opatrnější.

Tuto „zbývající informaci“ popisují stupně volnostiPočet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů..

8.1 Sudoku: kdy poslední volba přestane být volbou

Statistické stupně volnosti si zkusíme ilustrovat pomocí Sudoku. Sudoku je hlavolam s mřížkou 9 × 9 polí. Mřížka je rozdělena na devět menších čtverců 3 × 3. Číslice 1 až 9 se musí objevit právě jednou v každém řádku, sloupci i malém čtverci.

Podívejme se jen na jeden čtverec 3 × 3. Vlevo známe tři číslice a pro prázdná pole ještě zbývá mnoho možností. Vpravo už jsou umístěny číslice 1 až 8. Poslední pole nemá na výběr: musí v něm být 9.

Dva čtverce Sudoku 3 × 3: vlevo jsou jen tři číslice, vpravo osm číslic a oranžové pole s otazníkem pro vynucenou devítku.

V neúplném čtverci zbývá mnoho možností. Po umístění osmi různých číslic je poslední hodnota vynucená.

Statistické stupně volnosti jsou trochu podobné této situaci v Sudoku: říkají nám, kolik volnosti k volbě ještě zbývá, když už platí určitá omezení. Sudoku tuto myšlenku dobře zviditelní, i když jeho pravidla nejsou statistickým výpočtem.

8.2 Čtyři čísla s průměrem 10

Požadovaný součet získáme jako počet čísel krát jejich pevný průměr. Chceme 4 čísla s průměremSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). 10, takže jejich součet musí být 4 krát 10, tedy 40.

\[ \text{požadovaný součet} = \text{počet čísel} \times \text{pevný průměr}. \]

Zvolme tři čísla. Poslední už musí doplnit součet do 40:

\[ 7+12+9+x=40 \]

\[ x=40-7-12-9=12. \]

Co když známe jen první dvě čísla?

\[ 7+12+x+y=40 \]

Teď neznáme ani \(x\), ani \(y\). Z jediné rovnice je neumíme oba určit: \(x\) si ještě můžeme zvolit a tím je \(y\) vynuceno tak, aby součet zůstal 40. Ve srovnání s prvním příkladem tedy zbývá o jednu volbu více.

Nejde nám o vyřešení rovnice. Sledujeme, kolik hodnot ještě můžeme zvolit nezávisle a kolik jich už musí splnit omezení pevného součtu.

QuestionZkuste vlastní čtveřici

Napište tři libovolná čísla a sestavte rovnici pro čtvrté tak, aby jejich průměr byl 10. Kolik hodnot jste mohli zvolit nezávisle? Která hodnota už byla vynucená?

Pro čtyři čísla s pevným průměrem platí:

\[ \text{stupně volnosti} = \text{počet čísel} - \text{jedno omezení} \]

\[ df=4-1=3. \]

První tři čísla mohou být zvolena volně. Jakmile známe je a požadovaný průměr, čtvrté musí doplnit součet do 40.

Obecně pro \(n\) čísel s jedním pevným průměrem platí:

\[ df=n-1, \]

kde \(n\) je počet čísel a jednička představuje jedno omezení jejich součtu.

8.3 Zpět ke krabům

Krabí model má 13 průměrů slanisek. To je náš počet pozorováníJeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných.. Z těchto pozorování model odhaduje dvě hodnoty:

Po odhadu těchto dvou koeficientů zbývá:

\[ \text{reziduální stupně volnosti} = \text{počet pozorování (zde počet lokalit)} - \text{počet odhadnutých koeficientů} \]

\[ df=13-2=11. \]

Stejný vztah můžeme pro lineární modelStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). zapsat obecně:

\[ df_{\mathrm{res}}=n-p, \]

kde \(n\) je počet pozorování — u krabů počet lokalit — a \(p\) je počet koeficientů odhadnutých z těchto pozorování. Zde tedy \(n=13\) a \(p=2\).

QuestionSpojte tři obrazy — Kde přesně analogie končí?

Doplňte tři věty:

  1. Sudoku ukazuje, že …
  2. Čtyři čísla s pevným průměrem ukazují přesněji, že …
  3. V regresi odhad interceptu a sklonu znamená, že …
  1. Sudoku ukazuje, že po splnění pravidel může poslední volba přestat být volbou.
  2. Čtyři čísla s pevným průměrem ukazují přesněji, že jedno omezení součtu spotřebuje jeden stupeň volnosti.
  3. V regresi odhad interceptu a sklonu znamená, že dva stupně volnosti spotřebujeme na tyto dva koeficienty a pro residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. jich zbývá \(n-2\).

Analogie končí tam, kde Sudoku vynucuje přesnou číslici. V regresi residua vynucená nejsou; stupně volnosti jen říkají, kolik nezávislé informace o jejich rozptýlení zbývá.

Teď si spojme počet pozorování s tím, kolik volnosti po fitování přímky zbývá. Přímka pokaždé odhaduje dva koeficienty, intercept a sklon:

Počet nezávislých pozorování Odhadnuté koeficienty Zbývající reziduální df
3 2 1
13 2 11
10 002 2 10 000

Sudoku ukázalo volnost, která zbývá při postupném doplňování hodnot. Příklad s pevným průměrem ukázal stejnou myšlenku přesnou rovnicí. V regresi spotřebujeme část informace na odhad interceptu a sklonu. Když přidáme další nezávislá pozorování, ale stále odhadujeme jen tyto dva koeficienty, zbývá více reziduálních stupňů volnosti.

8.4 Proč jsme s malým počtem lokalit opatrnější?

Pro vyhodnocení t-statistiky používáme t-rozděleníPopis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení.. Křivka ukazuje, které hodnoty \(t\) bychom při opakování studie čekali častěji a které méně často. Celá plocha pod křivkou představuje všechny možné výsledky dohromady.

Vyberme si dobře viditelnou hranici: hodnoty alespoň dvě standardní chybyMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. od nuly, tedy \(t\leq-2\) nebo \(t\geq2\). Fialová plocha ukáže, jak velká část možných výsledků leží za těmito hranicemi.

TipPouze ilustrační příklad — ještě ne krabí výsledek

Hodnotu \(|t|=2\) jsme zvolili jen proto, aby byly vybarvené plochy dobře vidět. Není to naše krabí t-statistika ani výsledek krabího modelu. Obrázek zatím slouží pouze k porovnání ploch při různých stupních volnosti. Co přesně tato plocha znamená, pojmenujeme v následující části.

Tři t-křivky pod sebou pro různé stupně volnosti s fialově vybarvenými chvosty za hranicemi minus 2 a plus 2 a popiskem plochy.

Ilustrační hranice t = -2 a t = 2 nejsou výsledkem krabího modelu. Ukazují pouze, že při menším df zůstává za stejnými hranicemi větší část celkové plochy.
QuestionPřečtěte plochu pod křivkou
  • Co představuje celá plocha pod jednou křivkou?
  • Co představují dvě fialové části?
  • U které křivky zabírají fialové části největší podíl celku?
  • Co se s fialovou plochou mění, když roste počet stupňů volnosti?

Při malém \(df\) zůstává dál od nuly větší část celkové plochy. Pro tento tvar mají statistici běžný název: říkají, že taková křivka má těžší chvosty. Velké absolutní hodnoty \(t\) proto nejsou při malém \(df\) tak neobvyklé. Krabí model má 11 stupňů volnosti, takže v následující části použijeme tvar prostřední křivky — už ale s naší skutečnou hodnotou \(t\), nikoli s ilustrační hranicí 2.

9 Jak neobvyklé by bylo naše t v nulovém světě?

Vraťme se ke krabům. Nulová hypotézaVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. popisuje svět, ve kterém je sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). opravdu nulový. T-křivka s stupni volnostiPočet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů. 11 ukazuje, jaké hodnoty \(t\) by v takovém světě vznikaly při opakování studie.

Pozorovaný sklon leží přibližně 6,16 standardních chybMíra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace. od nuly. Odpovídající t-statistika je tedy \(t\approx \text{6,16}\). Teď se ptáme, jaká část nulového referenčního rozděleníPopis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení. leží alespoň tak daleko od nuly jako náš výsledek.

Celá plocha pod t-křivkou představuje všechny možné hodnoty \(t\) v nulovém světě a má velikost 1. Hledaná část této plochy proto musí být číslo mezi 0 a 1.

Co hledáme? V krabím modelu
Hranice stejně vzdálené od nuly \(t=-\text{6,16}\) a \(t=+\text{6,16}\)
Výsledky ještě vzdálenější vše nalevo od záporné hranice a napravo od kladné hranice
Proč oba směry? alternativa připouští kladný i záporný vztah

Obě krajní oblasti se nazývají chvosty rozdělení. Protože naše otázka připouští kladný i záporný sklon, budeme sčítat plochu v obou chvostech.

T-křivka s oranžovými čárkovanými hranicemi v minus a plus pozorovaném t a světle fialovými pásy za nimi; plocha v pásech je velmi malá.

Oranžové pásy označují hodnoty t alespoň tak vzdálené od nuly jako pozorované t. Hledaný podíl tvoří plocha pod křivkou uvnitř obou pásů.
QuestionNajděte obě hledané plochy

Na obrázku najděte:

  1. pozorovanou kladnou t-statistiku;
  2. stejně vzdálenou zápornou hodnotu;
  3. všechny hodnoty alespoň tak extrémní vpravo;
  4. všechny hodnoty alespoň tak extrémní vlevo.

Proč by vybarvení jen pravého chvostu neodpovídalo otázce, která připouští růst i pokles?

Sečteme plochu v levém a pravém chvostu. Tomuto součtu se ve statistice říká p-hodnotaPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data..

PoznámkaP-hodnota v jedné větě

Pokud by nulová hypotéza a předpoklady modelu platily, p-hodnota je pravděpodobnost, že získáme t-statistiku alespoň tak vzdálenou od nuly, jako je ta naše. Je to plocha pod referenční křivkou, a proto nabývá hodnot od 0 do 1.

Co z p-hodnoty můžeme přímo přečíst?

  • Vždy leží mezi 0 a 1. Nula by znamenala žádnou plochu, jednička celou plochu pod křivkou.
  • Je podmíněná nulovým světem a modelem. Nejde o pravděpodobnost, že je nulová hypotéza pravdivá.
  • U oboustranné otázky zahrnuje oba chvosty. Počítáme kladné i záporné výsledky alespoň tak vzdálené od nuly.
  • Čím menší je p-hodnota, tím méně jsou data slučitelná s přesně nulovým sklonem. Takto krajní výsledek by v nulovém světě vznikal méně často.

Pro krabí model je tento součet přibližně 0,000071. Kdyby byl skutečný sklon nulový a model správně popisoval vznik dat, takto krajní nebo ještě krajnější t-statistika by se objevila přibližně 7,1krát ze 100 000 opakování.

9.1 Tři studenti čtou stejný výsledek

Anna: „P-hodnota 0,000071 znamená, že pravděpodobnost nulové hypotézy je 0,000071.“

Boris: „Tak malá p-hodnota znamená, že biologický efektKvantitativní popis toho, jak se podle modelu mění odezva s prediktorem; zahrnuje směr, velikost a nejistotu odhadu, ale sám o sobě nedokládá příčinu. musí být obrovský.“

Cyril: „Kdyby byl skutečný sklon nulový a platil náš model, takto krajní výsledek by byl velmi vzácný.“

QuestionKdo výsledek čte správně?

Který student je nejblíže správné interpretaci? U zbývajících dvou přesně pojmenujte chybu. Co musí i správná věta přiznat o předpokladech modelu?

Cyril jako jediný odpovídá na otázku, kterou p-hodnota skutečně klade.

UpozorněníCo p-hodnota neříká

Následující výklady jsou nesprávné. P-hodnota není:

  • pravděpodobnost, že \(H_0\) je pravdivá;
  • pravděpodobnost, že alternativní hypotéza je pravdivá;
  • velikost biologického efektu;
  • pravděpodobnost, že výsledek vznikl „náhodou“;
  • pravděpodobnost úspěšného zopakování studie;
  • kontrola správnosti všech předpokladů;
  • konečný verdikt o Bergmannově pravidle.

Naše p-hodnota odpovídá jedné předem pojmenované otázce o sklonu vůči zeměpisné šířce. Kdybychom však ze stejných dat bez předem daného plánu položili mnoho souvisejících otázek, zvýšila by se šance, že alespoň jedna analýza vytvoří nápadně malou p-hodnotu i bez přesvědčivého biologického signálu.

Proto k interpretaci patří také informace, kolik otázek výsledku předcházelo a zda byly zvoleny před pohledem na výsledky. Předem formulovaná biologická otázka omezuje hledání výsledku, který pouze vypadá zajímavě. V následující lekci uvidíme, jak se stejné riziko objeví, když z jedněch dat položíme několik souvisejících otázek.

10 Když musíme udělat rozhodnutí

P-hodnotaPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data. popisuje, nakolik jsou data slučitelná s nulovou hypotézouVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀.. V některých situacích ale musíme udělat také rozhodnutí: nulovou hypotézu zamítnout, nebo ji nezamítnout. K tomu potřebujeme pravidlo zvolené ještě před pohledem na výsledek.

Představme si mnoho studií, ve kterých nulová hypotéza opravdu platí. Jak často jsme ochotni připustit, že ji naše pravidlo přesto omylem zamítne? Hodnota 5 % například znamená, že při mnoha opakovaných studiích se stejným pravidlem připouštíme pětiprocentní dlouhodobé riziko falešného zamítnutí pravdivé nulové hypotézy.

Tato předem zvolená hranice se nazývá hladina významnostiPředem zvolená pravděpodobnostní hranice (typicky α = 0,05), pod níž prohlásíme výsledek za statisticky významný. a označuje se řeckým písmenem \(\alpha\) (alfa). Často se používá:

  • 5 %, tedy \(\alpha=\text{0,05}\);
  • v přísněji nastavených analýzách například 1 %, tedy \(\alpha=0{,}01\).

Ani 5 %, ani 1 % není přírodní zákon. Hranice má vycházet z pravidel oboru a z následků nesprávného rozhodnutí. Dva možné způsoby, jak se při takovém rozhodování splést, pojmenujeme v následující části.

10.1 Kritické hodnoty

Plochu pod t-křivkou ani její přesné hranice není snadné vypočítat ručně. Proto statistické učebnice před běžným používáním počítačů obsahovaly několik stran předem vypočtených tabulek. Z nich se vyhledávala kritická hodnotaNásobek standardní chyby použitý při konstrukci intervalu nebo testu; závisí například na hladině spolehlivosti, stupních volnosti a zvoleném rozdělení. pro zvolené rozděleníPopis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení., hladinu významnosti a stupně volnostiPočet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů..

Tabulka tedy nepočítala přesnou plochu znovu pro každý model. Umožnila jednodušší postup: najít správnou hranici a porovnat s ní pozorovanou testovou statistiku. Pokud \(|t|\) leželo za kritickou hodnotou, odpovídalo to p-hodnotě nejvýše \(\alpha\) a nulová hypotéza se zamítla. Podrobnější tabulky také dovolovaly p-hodnotu zařadit mezi dvě uvedené hranice, ale obvykle nedaly tolik desetinných míst jako dnešní software.

Nebyla to jedna hranice pro všechny modely. Bylo potřeba zvolit:

  • referenční rozdělení — zde t-rozdělení;
  • oboustrannou hladinu významnosti — zde \(\alpha=\text{0,05}\);
  • správný řádek podle stupňů volnosti — zde \(df=11\).

Malá část takové tabulky by vypadala následovně. Hodnoty říkají, jak daleko od nuly začíná při oboustranné hladině 5 % krajních pět procent t-rozdělení.

Reziduální stupně volnosti Kritická hodnota \(|t|\) pro \(\alpha=\text{0,05}\)
11 — krabí model 2,201
10 000 1,960

V řádku pro 11 stupňů volnosti najdeme hranice přibližně \(-\text{2,201}\) a \(+\text{2,201}\). Pozorované krabí \(|t|=\text{6,16}\) leží daleko za nimi.

Teď stejné hranice přidáme přímo do známého t-rozdělení. Fialová vyznačuje předem zvolené kritické oblasti; oranžová ukazuje výsledek našeho modelu.

Nulové t-rozdělení s fialovými kritickými hranicemi minus a plus 2,201, oranžovou pozorovanou hodnotou t rovnou plus 6,159 a čárkovanou oranžovou zrcadlovou hranicí.

Kritické hranice a pozorovaná t-statistika v nulovém t-rozdělení. Fialové chvosty mají dohromady plochu alfa; oranžové hranice vymezují oboustrannou p-hodnotu.

Fialové chvosty za kritickými hranicemi mají dohromady plochu \(\alpha=\text{0,05}\). Skutečně pozorovaná t-statistika je kladná; záporná oranžová hranice je pouze její zrcadlový protějšek pro oboustrannou otázku. P-hodnota je plocha pod t-křivkou za oběma oranžovými hranicemi. Protože \(|t|=\text{6,16}\) leží za kritickou hodnotou 2,201, vedou porovnání \(|t|\) s kritickou hodnotou a porovnání p-hodnoty s \(\alpha\) ke stejnému rozhodnutí.

V R stejnou hodnotu vyhledá funkce qt(). Funkce pt() pak spočítá plochu za pozorovaným t, tedy p-hodnotu. Následující kód používá přímo model, který jsme už fitovali:

# Hranici spočítáme pro alfa = 0,05 a df našeho modelu.
kriticke_t <-
  qt(
    p = 1 - 0.05 / 2,
    df = df.residual(object = mod_krabi)
  )

# t-statistiku přečteme z tabulky koeficientů modelu.
tabulka_koeficientu <- coef(object = summary(object = mod_krabi))
t_krabi <- tabulka_koeficientu["zemepisna_sirka", "t value"]

# Obě krajní plochy t-rozdělení sečteme.
p_krabi <-
  2 * pt(
    q = -abs(x = t_krabi),
    df = df.residual(object = mod_krabi)
  )

c(
  kriticka_hodnota = kriticke_t,
  t_krabi = t_krabi,
  p_hodnota = p_krabi
)
kriticka_hodnota          t_krabi        p_hodnota 
    2.200985e+00     6.159372e+00     7.112446e-05 
abs(x = t_krabi) > kriticke_t
[1] TRUE

Při běžné analýze se o ruční vyhledávání kritických hodnot ani o výpočet pomocí qt() a pt() nemusíme starat. R už test koeficientu provedl při fitování modelu. Podívejme se znovu na známý výpis:

# Znovu zobrazíme celý souhrn stejného modelu.
summary(object = mod_krabi)

Call:
lm(formula = prumerna_sirka_mm ~ zemepisna_sirka, data = data_lokality)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.77895 -0.74796  0.05101  0.73779  1.87228 

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     -3.74716    3.00884  -1.245    0.239    
zemepisna_sirka  0.48953    0.07948   6.159 7.11e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.226 on 11 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7752,    Adjusted R-squared:  0.7548 
F-statistic: 37.94 on 1 and 11 DF,  p-value: 7.112e-05

P-hodnotu pro naši biologickou otázku najdeme v tabulce Coefficients:

To je hodnota, kterou budeme při běžné práci číst. Tabulka kritických hodnot, porovnání s \(|t|\) a porovnání p-hodnoty s \(\alpha\) jsou jen tři zápisy stejného rozhodovacího pravidla. Počítač princip porovnání nezměnil; stejné hranice a plochy však vypočítá za nás.

Test, který R provedl pro sklon, patří mezi takzvané t-testyStatistický test porovnávající průměry dvou skupin (nebo průměr s konstantou); ekvivalent lineárního modelu se dvěma úrovněmi faktoru.: odhad vydělíme jeho standardní chybou a výslednou t-statistiku porovnáme s t-rozdělením. V učebnicích a článcích se pod názvem t-test nejčastěji objevuje porovnání průměrů dvou skupin, například kontroly a zásahu. K tomuto t-testu se můžeme vrátit později v kurzu. Uvidíme, že jde o stejný lineární model, jen s prediktorem, který označuje příslušnost ke skupině.

Rozhodovací pravidlo pak zní:

Výsledek porovnání Běžné rozhodnutí a označení
p-hodnota je nejvýše \(\alpha\) zamítneme nulovou hypotézu; výsledek označíme jako statisticky významný
p-hodnota je větší než \(\alpha\) nulovou hypotézu nezamítneme; výsledek není na zvolené hladině statisticky významný

V těchto materiálech používáme český termín statisticky významný. V článcích často uvidíte také synonymum statisticky signifikantní (anglicky statistically significant). P-hodnota je v obou případech menší než předem zvolená rozhodovací hranice.

UpozorněníStatisticky významný neznamená biologicky důležitý

Slovo „významný“ zde neříká, že je efektKvantitativní popis toho, jak se podle modelu mění odezva s prediktorem; zahrnuje směr, velikost a nejistotu odhadu, ale sám o sobě nedokládá příčinu. velký, biologicky důležitý nebo určitě pravdivý. O biologickém významu rozhodujeme podle velikosti efektu v jeho jednotkách a podle biologického kontextu, nikoli podle samotného porovnání p-hodnoty s hranicí.

U krabů je p-hodnota 0,000071. Při \(\alpha=\text{0,05}\) proto nulovou hypotézu o přesně nulovém sklonu zamítáme a výsledek nazveme statisticky významným. Odpovídající 95% interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. nulu neprotíná, takže vede ke stejnému rozhodnutí. Neříkáme tím, že jsme alternativní hypotézu dokázali; říkáme, že přesně nulový sklon je za předpokladů modelu s výsledkem velmi obtížně slučitelný.

10.2 Stejnou otázku můžeme položit intervalu

Teď už víme, proč porovnáváme právě 95% interval s hladinou \(\alpha=\text{0,05}\). U oboustranného testu patří k sobě:

  • kritické hranice vymezující prostředních 95 % příslušného referenčního rozdělení;
  • 95% interval spolehlivosti vytvořený pomocí stejných hranic;
  • zbývajících 5 % rozdělených mezi oba chvosty;
  • rozhodovací hranice \(\alpha=\text{0,05}\).

Stejnou otázku proto můžeme položit bez dalšího výpočtu p-hodnoty: obsahuje 95% interval spolehlivosti nulový sklon?

Fialový interval spolehlivosti sklonu s oranžovým bodem odhadu; čárkovaná svislá čára nulového sklonu leží vlevo mimo interval.

Odhad sklonu a jeho 95% interval spolehlivosti. Svislá čára označuje nulový sklon, tedy žádnou lineární změnu k severu.

Krabí interval od 0,315 do 0,664 mm na stupeň nulu neprotíná. Při oboustranné hladině \(\alpha=\text{0,05}\) proto vede ke stejnému rozhodnutí jako p-hodnota: nulový sklon zamítneme. Kdyby 95% interval nulu protínal, p-hodnota by při stejném modelu nebyla menší než 0,05 a nulovou hypotézu bychom nezamítli.

Interval nám přitom ukazuje víc než samotné rozhodnutí. Vidíme z něj také rozsah kladných velikostí vztahu, které zůstávají slučitelné s daty a modelem.

Nezamítnout nulovou hypotézu naopak neznamená dokázat, že efekt je přesně nula.

Nulový sklon je matematicky jednoduchá referenční hodnota, ale biologická otázka může mít důležitější hranici. Výzkumníci mohou například předem určit, jak velký kladný sklon šířky krunýře na jeden stupeň je ještě biologicky zanedbatelný a od jaké velikosti už by měnil jejich biologický závěr. Konkrétní hranice musí vycházet z biologických znalostí a měla by být zdůvodněna před čtením výsledku.

Interval spolehlivosti můžeme porovnat nejen s nulou, ale také s takovou předem zvolenou hranicí. Může například celý ležet pod hranicí biologicky důležitého kladného sklonu, i když obsahuje nulu; v takovém případě mezi hodnotami slučitelnými s daty a modelem není velký kladný efekt, ale interval neříká automaticky totéž o opačném směru. Jindy může interval připouštět nulový i biologicky významný kladný efekt. Formální testy ekvivalence patří do pokročilejšího kurzu; zde stačí číst celý rozsah efektů slučitelných s daty.

11 Dva způsoby, jak se splést

Rozhodovací pravidlo už máme: p-hodnotuPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data. porovnáme s předem zvolenou hladinou významnostiPředem zvolená pravděpodobnostní hranice (typicky α = 0,05), pod níž prohlásíme výsledek za statisticky významný.. Rozhodnutí ale není totéž co jistota. Může odpovídat skutečnosti, nebo se můžeme splést dvěma různými způsoby.

11.1 Rychlá paměťová pomůcka

U těhotenského testu si představme nulový stav „těhotenství není přítomno“:

  • chyba I. typu neboli falešně pozitivní výsledek: test hlásí těhotenství v očividně nemožné situaci;
  • chyba II. typu neboli falešně negativní výsledek: test nehlásí těhotenství v očividně pokročilé fázi.

Falešně pozitivní výsledek: zjevně netěhotný muž překvapeně drží pozitivní těhotenský test.

Falešně negativní výsledek: zjevně těhotná žena překvapeně drží negativní těhotenský test.
Obrázek 1: Dvě úmyslně absurdní situace jako paměťová pomůcka: vlevo chyba I. typu, vpravo chyba II. typu.

Je to úmyslně absurdní zkratka. Skutečná definice vždy závisí na tom, jak jsme určili nulový stav.

11.2 Biologický příklad: invazní druh

Představme si průzkum, jehož nulová hypotéza zní:

\[ H_0:\ \text{invazní druh v oblasti není přítomen}. \]

Skutečnost Průzkum hlásí „nepřítomen“ Průzkum hlásí „přítomen“
Druh není přítomen správné rozhodnutí chyba I. typu: zbytečný zásah
Druh je přítomen chyba II. typu: přehlédnutá invaze správné rozhodnutí
QuestionRozhodněte — Která chyba je horší?
  1. Zařaďte oba těhotenské příklady jako chybu I. nebo II. typu.
  2. Totéž udělejte pro invazní druh.
  3. Která chyba může být v ochraně přírody závažnější?
  4. Jak odpověď závisí na ceně zásahu, rychlosti šíření a vratnosti škod?

Pozitivní test u muže je chyba I. typu, negativní test v pokročilém těhotenství chyba II. typu. U invazního druhu je zbytečný zásah chybou I. typu a přehlédnutá invaze chybou II. typu. Přehlédnutá invaze bývá závažnější, když se druh rychle šíří a škody jsou nevratné; levný a vratný zásah naopak snese více falešných poplachů.

Žádný typ chyby není vždy horší. Záleží na následcích.

U krabího modelu by chyba I. typu znamenala, že tvrdíme vztah, přestože je populační sklonParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). nulový. Chyba II. typu by znamenala, že skutečný vztah neodhalíme.

11.3 Když skutečný vztah přehlédneme

Chyba II. typu popisuje jednotlivý omyl. Zbývá ale praktická otázka: Jak dobře je naše studie připravena skutečný vztah vůbec odhalit? Této schopnosti říkáme síla testu.

V tomto kontextu znamená „efekt“ vždy předem zvolenou skutečnou velikost efektu (effect size) v širší populaci — například skutečný sklon 0,25 mm na stupeň. Nejde o pravděpodobnost, že efekt existuje, ani o dodatečné přejmenování sklonu, který jsme právě pozorovali.

Kdybychom opakovali stejně navrženou studii ve světě s touto konkrétní skutečnou velikostí efektu, síla testu by byla podíl opakování, ve kterých bychom nulovou hypotézu správně zamítli. Vyšší síle obvykle pomáhá:

Nízká síla znamená, že častěji nastane chyba II. typu: reálný vztah přehlédneme. Proto nezamítnutí nulové hypotézy není důkazem nulového efektu, zvlášť u malé nebo velmi variabilní studie.

11.4 Kolik studií vztah odhalí?

Sílu testu můžeme odhadnoutČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. simulací. Musíme si zvolit konkrétní skutečný efekt, který chceme umět odhalit. Zvolíme vztah 0,25 mm na jeden stupeň, tedy asi 51 % sklonu pozorovaného u krabů. Ptáme se tak, zda by stejná studie dokázala zachytit i slabší, ale předem zvolený vztah. Výsledek porovnáme také s naším pozorovaným sklonem.

Vytvoříme 5 000 hypotetických studií. Každá bude mít stejné zeměpisné šířky jako naše data. Do každé vložíme skutečný sklon 0,25 mm na stupeň a přidáme náhodná residuaRozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. podobně velká jako v našem modelu. Potom vždy fitujeme přímku a zaznamenáme, zda při \(\alpha=\text{0,05}\) zamítla nulový sklon.

Co jsme v příkladu nastavili Hodnota
Skutečný sklon, který chceme odhalit 0,25 mm na 1°
Počet lokalit v každé studii 13
Velikost náhodných residuí přibližně 1,23 mm
Rozhodovací hranice \(\alpha=\text{0,05}\)
Studie, které nulový sklon zamítly 4 060 z 5 000

Sílu v tomto ilustračním scénáři odhadneme jako podíl:

\[ \text{odhad síly testu} = \frac{\text{počet studií, které zamítly nulový sklon}} {\text{počet všech simulovaných studií}}. \]

\[ \frac{4060}{5000} = \text{0,812} \approx \text{81,2}\,\%. \]

Zkráceně bychom stejný výpočet mohli zapsat jako

\[ \widehat{\text{síla}}=\frac{m}{N}, \]

kde \(m\) je počet simulovaných studií, které nulový sklon zamítly, a \(N\) je počet všech simulovaných studií.

To znamená: kdyby byl skutečný sklon 0,25 mm na stupeň a všechny ostatní podmínky odpovídaly této simulaci, přibližně 81,2 % stejně navržených studií by při \(\alpha=\text{0,05}\) nulový sklon zamítlo. Zbylé studie by tento skutečný vztah přehlédly — dopustily by se chyby II. typu.

DůležitéDruhý zvolený scénář: větší skutečný sklon

Zvolme ještě druhý scénář, ve kterém je skutečný sklon stejně velký jako náš odhad, tedy 0,490 mm na stupeň. Nulový sklon pak zamítne 4 999 z 5 000 studií a síla vychází přibližně 99,98 %. Je vyšší než u sklonu 0,25 mm na stupeň, protože větší skutečný efekt je při stejném počtu lokalit a stejné variabilitě snazší odhalit.

Ani toto číslo není síla naší již dokončené studie. Pozorovaný sklon je jen odhad a skutečný sklon může být menší i větší. Sílu proto počítáme pro předem zvolené scénáře, nikoli zpětně z výsledku, který jsme už viděli.

QuestionZměňte scénář v hlavě

Co by se podle vás stalo se silou, kdyby byl skutečný sklon menší? Co kdybychom měli více nezávislých lokalit nebo menší residua?

Menší skutečný sklon by se odhaloval hůř, takže síla by klesla. Více nezávislých lokalit nebo menší residua zmenší standardní chybu sklonu, a síla proto vzroste.

Těchto 81,2 % není pravděpodobnost, že je náš závěr pravdivý, ani dodatečné hodnocení pozorované p-hodnoty. Je to vlastnost předem popsaného hypotetického scénáře. Formální plánování síly a potřebné velikosti výběruSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. necháme na pozdější kurz.

12 Co tedy můžeme říct o krabech?

Vraťme se k původní otázce.

Dokázali jsme, že severněji žijící krabi jsou větší?

Ne. Máme silný a dobře popsaný výsledek pro 13 sledovaných slanisek a jednoduchý model. To není totéž jako definitivní důkaz obecného biologického pravidla.

QuestionKterá výsledková věta vám řekne více?

Porovnejte dva závěry:

A: „\(p<0{,}05\), proto jsou severní krabi větší.“

B: „OdhadČíslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. sklonuParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů). říká, že průměrná šířka krunýřeSoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). rostla přibližně o 0,490 mm na stupeň; intervalRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr. od 0,315 do 0,664 mm ukazuje, jak velký vztah je s daty slučitelný.“

Která věta vám o krabech řekne více? Co je špatně ve větě A? Co ještě chybí i ve větě B?

Více řekne věta B: obsahuje velikost vztahu v jednotkách i jeho nejistotuRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb.. Věta A zaměňuje statistickou významnost za důkaz a vůbec neříká, o kolik jsou krabi větší. Větě B ještě chybí biologický význam změny, srovnání s nulovým sklonem a omezení studie.

Úplný závěr můžeme poskládat z následujících odpovědí:

Nejprve se ptáme Odpověď v krabím příběhu
Jak velký je vztah? 0,490 mm na 1°; 2,45 mm na 5°
Je biologicky zajímavý? Přes sledovaný rozsah odpovídá asi 6,22 mm
Jak přesný je odhad? 95% CI [0,315; 0,664] mm na 1°
Jak dobře se data shodují s nulovým sklonem? \(t\approx \text{6,16}\), \(df=11\), \(p\approx \text{0,000071}\)
Jaké je rozhodnutí při \(\alpha=\text{0,05}\)? výsledek je statisticky významný; nulovou hypotézuVýchozí předpoklad, který testujeme - typicky ‘efekt je nulový’ nebo ‘skupiny se neliší’; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀. zamítáme
Co ještě může závěr omezovat? výběrSoubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces. lokalit, prostorová závislost, agregace a jednoduchost modelu
QuestionVaše verze — Vysvětlete výsledek biologovi

Napište pět až šest vět tak, aby čtenář nejprve pochopil, co se s velikostí krabů mění a o kolik. Potom přidejte nejistotu, srovnání s nulovým sklonem a nakonec omezení toho, co lze z těchto slanisek zobecnit.

Jedna možná odpověď:

DůležitéPříklad úplného výsledku

Na 13 sledovaných slaniskách atlantského pobřeží se průměrná šířka krunýře samců zvyšovala přibližně o 0,490 mm na každý stupeň zeměpisné šířky, tedy asi o 2,45 mm na 5°. Přes celý sledovaný rozsah odpovídá fitovaná přímka změně přibližně 6,22 mm, která je vzhledem k velikosti krabů biologicky zajímavá. 95% interval spolehlivosti sahal od 0,315 do 0,664 mm na stupeň. Při hladině \(\alpha=\text{0,05}\) byl výsledek statisticky významný; při předpokladech jednoduchého lineárního modeluStatistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). byla data obtížně slučitelná s přesně nulovým sklonem (\(t\approx \text{6,16}\), \(df=11\), \(p\approx \text{0,000071}\)). Výsledek podporuje kladný vztah mezi zeměpisnou šířkou a průměrnou velikostí samců na sledovaných slaniskách, ale sám neprokazuje, že zeměpisná šířka velikost krabů způsobuje.

12.1 Co se do jedné přímky nevešlo

Diagnostické grafySoubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů. jsme prohlédli hned po fitování modelu. Ani dobrý diagnostický obraz ale neřeší všechna omezení studie a zvoleného modelu:

  • Jsou všechna slaniska stejně dobře změřena? Ne úplně. Počty krabů se mírně liší, takže průměry nemají stejnou přesnost. Jednoduchá nevážená regrese jim přesto dává stejnou váhu.
  • Co se stalo s rozdíly mezi jednotlivými kraby? Zprůměrováním jsme je z hlavní analýzy odstranili. Pro naši otázku to bylo užitečné, ale část informace jsme ztratili.
  • Nestojí přímka hlavně na několika lokalitách? Když postupně vynecháme vždy jednu lokalitu, sklon se nejvíce změní po vynechání lokalit GTM a SI. Všechny sklony však zůstávají kladné a leží přibližně mezi 0,429 a 0,559 mm na stupeň.
  • Mohou si blízká slaniska být podobnější? Ano. Geografické lokality nemusí být zcela nezávislé a přímka není úplný prostorový ekologický model.
  • Dokazuje vztah příčinu? Ne. Studie je observační. Zeměpisná šířka může souviset s teplotou, délkou sezóny i dalšími podmínkami.

Kvůli těmto omezením nemusíme výsledek zahodit. Musíme ale být opatrní, když ho zobecňujeme na jiná místa, populace nebo biologické mechanismy.

13 Měsíc pořád není ze sýra

P-hodnotaPravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data. nám neřekne pravděpodobnost, že je Měsíc ze sýra. Stejně tak nám neřekne pravděpodobnost, že je Bergmannovo pravidlo pravdivé.

Odpovídá na mnohem užší otázku: Jak neobvyklá by byla naše testová statistika, kdyby platilo přesně zvolené nulové tvrzení a předpoklady modelu?

Vědecký závěr vzniká spojením více částí:

PoznámkaHlavní myšlenka lekce

Věda nezískává pravdu z \(p<0{,}05\). Staví opatrné a opravitelné závěry z efektu, nejistoty, kvality studie a souvislostí.

14 Co bude následovat dál

Zeměpisná šířka byla číselný prediktorProměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci y ~ x je prediktor x., a proto jsme vztah popisovali sklonemParametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).. V následující lekci nebude prediktorem číslo, ale příslušnost ke skupině, například kontrola a zásah. Místo sklonu se budeme ptát na rozdíl mezi dvěma průměrySoučet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty)..

Způsob uvažování zůstane stejný: nejprve velikost a biologický význam rozdílu, potom nejistotaRozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb., srovnání s přesnou nulou a nakonec omezení studie.

15 Shrnutí

15.1 Závěrečná otázka

Kolega vám ukáže jen titulek „p < 0,05: severní krabi jsou větší“. Jaké tři otázky mu položíte, než titulku uvěříte?

O kolik milimetrů na stupeň se krabi liší a je to biologicky hodně? Jak široký je interval spolehlivostiRozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr.? Kolik slanisek studie měla a jak byla vybrána? Sedí přímka k datům a jsou slaniska nezávislá? A tvrdí titulek jen souvislost, nebo i příčinu?

Slovníček pojmů

Pojmy použité v těchto materiálech a jejich definice. Úplný průběžně aktualizovaný slovníček je dostupný také online.

term definition
diagnostika-modelu Soubor grafických a numerických kontrol ověřujících, zda jsou splněny předpoklady modelu: linearita, normalita reziduí, homoskedasticita, absence vlivných bodů.
efekt Kvantitativní popis toho, jak se podle modelu mění odezva s prediktorem; zahrnuje směr, velikost a nejistotu odhadu, ale sám o sobě nedokládá příčinu.
hierarchicka-data Data, kde pozorování nejsou zcela nezávislá - jsou seskupena do vyšší úrovně (lokality, bloky, jedinci s opakovanými měřeními).
hladina-vyznamnosti Předem zvolená pravděpodobnostní hranice (typicky α = 0,05), pod níž prohlásíme výsledek za statisticky významný.
intercept Parametr modelu: hodnota odezvy predikovaná modelem, když jsou všechny prediktory rovno nule; geometricky jde o úsek na ose y (kde regresní přímka protíná osu y).
interval-spolehlivosti Rozsah hodnot, v němž se s danou spolehlivostí (typicky 95 %) nachází odhadovaný parametr.
jednotka-pozorovani Entita nebo děj, o kterém jedno pozorování nese informace, například jedinec, plocha, vzorek vody nebo jedna erupce.
kriticka-hodnota Násobek standardní chyby použitý při konstrukci intervalu nebo testu; závisí například na hladině spolehlivosti, stupních volnosti a zvoleném rozdělení.
linearni-model Statistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε).
nejistota Rozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb.
nulova-hypoteza Výchozí předpoklad, který testujeme - typicky 'efekt je nulový' nebo 'skupiny se neliší'; p-hodnota udává pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti H₀.
odezva Proměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu `y ~ x` je odezva `y`.
odhad Číslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad.
odhadnuta-hodnota Hodnota odezvy, kterou fitovaný model přiřadí pozorování na základě jeho hodnot prediktorů; značí se často ŷ.
p-hodnota Pravděpodobnost, že bychom při platnosti nulové hypotézy pozorovali data alespoň tak extrémní jako naše skutečná data.
pozorovani Jeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných.
prediktor Proměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci `y ~ x` je prediktor `x`.
prumer Součet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty).
residuum Rozdíl mezi pozorovanou hodnotou odezvy a hodnotou predikovanou modelem: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.
rezidualni-smerodatna-odchylka Odhad typické velikosti residuí v jednotkách odezvy; popisuje rozptýlení pozorování kolem hodnot odhadnutých modelem.
rozdeleni Popis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení.
sklon Parametr lineárního modelu udávající, o kolik se změní odezva, pokud prediktor vzroste o jednu jednotku (při zachování ostatních prediktorů).
standardni-chyba Míra přesnosti odhadu parametru (typicky průměru) z dat; udává, jak moc by se odhadnutý parametr lišil při opakovaném vzorkování ze stejné populace.
stupne-volnosti Počet nezávislých informací dostupných pro odhad parametru; počet pozorování minus počet odhadovaných parametrů.
t-test Statistický test porovnávající průměry dvou skupin (nebo průměr s konstantou); ekvivalent lineárního modelu se dvěma úrovněmi faktoru.
variabilita Obecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu.
vyber Soubor pozorování, z něhož počítáme statistiky a pomocí něhož se snažíme popsat širší populaci nebo proces.