Mají širší korunní lístky kosatců také větší délku — a pokud ano, o kolik?

Botanička měří délku a šířku korunního lístku kosatce; vedle květů je ilustrační náčrt bodů, přímky a čtverců residuí. Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Logo kurzu Biostatistika BIOSTATISTIKA

L03

Lineární model s jedním numerickým prediktorem

cuni-natur-biostatistics.github.io/materialy.html

Ilustrace vytvořená pomocí AI.

Jakou délku odhadneme z naměřené šířky?

Květ kosatce s korunními lístky, jejichž šířku a délku budeme porovnávat.

Biologická otázka

Mají širší korunní lístky kosatců také větší délku — a pokud ano, o kolik?


Co budeme sledovat

150 květů

šířka a délka korunního lístku v centimetrech

Foto: Danielle Langlois / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Co si pamatujete z minulé lekce?

Odpovězte samostatně na tři krátké otázky. Na telefonu neuvidíte odpovědi ostatních; společné výsledky otevřeme až po hlasování.

QR kód otevírající anonymní dotazník PollsLive se třemi otázkami.

Otevřít dotazník v novém okně

Jak odpovídala skupina?

Otevřít výsledky mimo prezentaci

Máme délku ploutve a tělesnou hmotnost každého tučňáka. Který graf je vhodný jako první pohled na jejich vztah?

Čtyři možnosti označené A až D: bodový graf ploutve a hmotnosti, histogram délky ploutve, kruhový graf druhů a tabulka počtů druhů.

  • Bodový graf
  • Jeden histogram
  • Koláčový graf
  • Tabulka četností kategorií

Správná odpověď: Bodový graf

Obě proměnné jsou číselné a každá dvojice měření patří jednomu tučňákovi. Bodový graf zachová obě hodnoty i jejich párování.

Jaký směr vztahu vidíme v bodovém grafu délky ploutve a tělesné hmotnosti?

Bodový graf délky ploutve v milimetrech a tělesné hmotnosti v gramech pro 342 tučňáků; oblak bodů převážně roste.

  • Převážně klesající
  • Bez viditelného směru
  • Graf ukazuje pouze jednu proměnnou
  • Převážně rostoucí

Správná odpověď: Převážně rostoucí

Tučňáci s delší ploutví bývají v tomto souboru těžší. Body proto tvoří převážně rostoucí oblak.

Které tvrzení odpovídá tomu, co z tohoto pozorovacího grafu smíme vyvodit?

Bodový graf délky ploutve a tělesné hmotnosti tučňáků, s body barevně odlišenými podle druhu Adelie, Chinstrap a Gentoo.

  • Delší ploutev způsobuje vyšší tělesnou hmotnost.
  • Tělesná hmotnost způsobuje růst ploutve.
  • Délka ploutve a tělesná hmotnost spolu v těchto datech souvisejí.
  • Druh tučňáka nemůže vztah ovlivnit.

Správná odpověď: Délka ploutve a tělesná hmotnost spolu v těchto datech souvisejí.

Graf podporuje tvrzení o asociaci v pozorovaných datech. Sám neurčuje příčinu ani nevylučuje další proměnné.

Výsledky učení


Po absolvování této přednášky budete schopni:

  • převést otázku „když změříme jednu veličinu, jakou hodnotu druhé můžeme čekat?“ na lineární model s odezvou a prediktorem
  • fitovat lm(odezva ~ prediktor) a interpretovat směr i velikost efektu
  • vysvětlit residuum jako rozdíl mezi naměřenou a odhadnutou hodnotou
  • číst graf residuí a rozpoznat v něm zbývající vzor

Změříme šířku — jakou délku čekáme?

Příští sezónu stihneme změřit jen šířku

Letos botanička změřila u každého květu šířku i délku korunního lístku. Ukázka čtyř květů: jeden řádek = jeden květ.


Květ Šířka (cm) Délka (cm) Druh
1 0,2 1,3 setosa
2 1,0 3,7 versicolor
3 1,8 5,5 virginica
4 2,5 6,0 virginica
       
Květ Šířka (cm) Délka (cm) Druh
1 0,2 1,3 setosa
2 1,0 3,7 versicolor
3 1,8 5,5 virginica
4 2,5 6,0 virginica
nový 2,0 ? –

Letošní měření

150 květů · 0 chybějících hodnot

Šířky 0,1–2,5 cm · délky 1–6,9 cm

Příští sezóna

U nových květů stihneme změřit jen šířku. Jakou délku můžeme čekat?

Jaký vztah vidíte?

Šířka a délka každého květu kosatce v cm, rostoucí vztah s rozptýlením.

Vyberte nejlepší popis

A) bez zřetelného vztahu

B) přibližně lineární růst

C) výrazně zakřivený růst


Zvolte A/B/C a zdůvodněte odpověď podle bodů v grafu.

Jakou délku čekáte u květu širokého 2 cm?

Bodový graf šířky a délky korunních lístků se svislou oranžovou čárkovanou čarou u šířky 2 cm, kde leží nový květ s neznámou délkou.

Odhadněte délku nového květu v cm a porovnejte ji se sousedem.

Jakou délku čekáte u květu širokého 2 cm?

Dva panely se stejnou osou délky. Vlevo všechna měření, oranžově zvýrazněných 17 květů se šířkou 1,9–2,1 cm; tečkovaná čára u šířky 0,8 cm prochází mezerou bez květů. Vpravo jen tyto květy, mírně rozestoupené vodorovně, jejich délky sahají od 4,9 do 6,7 cm, oranžová úsečka ukazuje průměr 5,56 cm.

Čekáme délku kolem 5,6 cm; jednotlivé podobně široké květy měří 4,9–6,7 cm.

A u květu širokého 0,8 cm (tečkovaná čára)? Podobně široké květy v datech nejsou, potřebujeme pravidlo pro každou šířku.

Co změříme a co čekáme?

Otázka

V terénu jedno měření korunního lístku změříme a druhé podle něj chceme odhadnout. Které měření budeme odhadovat?


A) šířka korunního lístku

B) délka korunního lístku


Zvolte A/B a zdůvodněte svou volbu sousedovi.

prediktor: šířka — změříme → odezva: délka — odhadujeme

Opačná otázka, odhad šířky ze známé délky, by byla jiný model.

Jedna přímka shrnuje mnoho květů

Terénní botanička přikládá rovné pravítko k několika kosatcům s různými rozměry; pravítko představuje jednu přímku shrnující proměnlivá pozorování.

Ilustrační obraz vytvořen AI.

Přímka, která každé šířce (prediktor) přiřadí odhadnutou délku (odezva), je nejjednodušší lineární model.

Co přidá lineární model?


Graf a korelace (minulá lekce)

  • vztah zobrazit
  • popsat jeho směr
  • shrnout jeho těsnost

Lineární model

  • o kolik se v průměru liší délka dvou květů, jejichž šířky se liší o 1 cm
  • jakou délku čekat u květu dané šířky, třeba u nového květu


Obě odpovědi dostaneme v centimetrech. Jak přesné jsou, zůstává otevřené do příští lekce.

Co rozhoduje mezi přímkami?

Která z mnoha přímek vystihuje měření?

Přes stejná měření se střídají přímky s různým interceptem a sklonem.

Diskuze se sousedem — 30 s

Sledujte jeden cyklus. Podle čeho byste mezi přímkami rozhodli?

Kterou ze tří přímek byste vybrali?

Stejná měření se třemi kandidátními přímkami A, B a C, odlišenými typem čáry a popiskem.

Hlasování

Zvolte A, B, nebo C a napište, podle čeho posuzujete nejlepší přímku.

Co se změní, když přímku posuneme?

Tři rovnoběžné přímky se liší pouze interceptem.

Intercept (a) posouvá přímku nahoru nebo dolů.

Co se změní, když přímku nakloníme?

Tři přímky se společným interceptem se liší pouze sklonem.

Sklon (b) říká, jak rychle se mění odhadnutá délka s rostoucí šířkou.

Dvě čísla popíší každou přímku


\[ \text{odhadnutá délka} = \text{intercept }(a) + \text{sklon }(b) \cdot \text{šířka} \]


intercept (\(a\))

Výška přímky při šířce 0 cm.

sklon (\(b\))

Rozdíl odhadnutých délek dvou šířek, které se liší o 1 cm.


Intercept a sklon jsou dvě čísla, která popíší lineární model.

Jak daleko je měření od přímky?

Jeden květ a přímka B

Přímka B a šedý bod naměřeného květu se šířkou 2,5 cm.

Přímka B · šedý bod = květ 4 z tabulky: šířka 2,5 cm, naměřená délka 6 cm

Odhad přímky pro stejnou šířku

Fialový bod na přímce ukazuje odhad délky při stejné šířce jako šedý bod.

Fialový bod: odhadnutá délka na přímce při stejné šířce.

Mezi měřením a odhadem zůstává rozdíl

Oranžová svislá úsečka spojuje šedé měření a fialový odhad; měření je pod odhadem.

Oranžová úsečka ukazuje residuum: rozdíl mezi naměřenou a odhadnutou délkou.

Jaké znaménko má residuum?

Zvětšený výřez: šedý bod naměřené délky leží pod fialovou přímkou, oranžová úsečka mezi nimi.

\[ \begin{aligned} \text{residuum} &= \text{naměřená délka} \\ &\quad - \text{odhadnutá délka} \end{aligned} \]

A) kladné

B) záporné

C) nulové

Zvolte znaménko a zdůvodněte je polohou bodu vůči přímce.

Odhadnutá délka vybraného květu

Přímka B: intercept (a) = 1,1 cm · sklon (b) = 2,2 cm/cm

\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá délka} &= \text{intercept} \\ &\quad + \text{sklon} \cdot \text{šířka} \\ &= \text{1,1} + \text{2,2} \cdot \text{2,5} \\ &= \text{1,1} + \text{5,5} \\ &= \text{6,6}\ \text{cm} \end{aligned} \]

\[ \hat{y}_i = a + b \cdot x_i \]

\(x_i\) = naměřená šířka · \(\hat{y}_i\) = odhadnutá délka · \(i\) = pořadí květu

Zvětšený výřez: odhad délky vybraného květu je popsán na přímce B.

Residuum vybraného květu

\[ \begin{aligned} \text{residuum} &= \text{naměřená délka} \\ &\quad - \text{odhadnutá délka} \\ &= \text{6} - \text{6,6} \\ &= \text{−0,6}\ \text{cm} \end{aligned} \]

\[ e_i = y_i - \hat{y}_i \]

\(y_i\) = naměřená délka (cm)

\(\hat{y}_i\) = odhadnutá délka (cm)

\(e_i\) = residuum (cm)

Zvětšený výřez: naměřená i odhadnutá délka a jejich svislý rozdíl jsou popsány ve stejném grafu.

Residua očekáváme i u užitečného modelu

Důležitá myšlenka

Biologická variabilita nezmizí jen proto, že jsme nakreslili modelovou přímku


Model nemusí trefit každý květ přesně. Potřebujeme ale zjistit, zda odchylky působí náhodně, nebo zda v nich zůstává vzor.

Čtyři květy, stejná přímka

Květ Šířka (cm) Délka (cm) Odhad (cm) Residuum (cm)
1 0,2 1,3 1,54 -0,24
2 1,0 3,7 3,30 0,40
3 1,8 5,5 5,06 0,44
4 2,5 6,0 6,60 -0,60

Součet residuí: 0 cm. Kladná a záporná residua se vyruší, přestože přímka žádným bodem neprochází.

Čtyři očíslované květy, přímka B a oranžové svislé odchylky; dva body leží nad přímkou a dva pod ní.

Jak porovnat celé přímky?

1 · Změřit rozdíl

Pro každý květ určíme residuum.

2 · Odstranit znaménko

Každé residuum umocníme.

3 · Shrnout přímku

Čtverce sečteme do jednoho čísla: SSE.


Menší SSE znamená, že body leží celkově blíže přímce.

Jiná přímka, jiné vzdálenosti

Stejné čtyři květy, měnící se přímka a čtverce svislých odchylek; sloupce ukazují příspěvky do SSE.

Sledujte jeden cyklus: Kdy je celková oranžová plocha nejmenší?

Stejné květy, jiné parametry přímky: strana = \(|e_i|\) · plocha = \(e_i^2\) · součet = SSE

Čtverce residuí čtyř květů

Přímka B a stejné čtyři květy; čtverce residuí a sloupce příspěvků do SSE.

\[ \begin{aligned} \text{SSE} &= (\text{−0,24})^2 + (\text{0,40})^2 \\ &\quad + (\text{0,44})^2 + (\text{−0,60})^2 \\ &\approx \text{0,77}\ \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Stejná residua v R

# Stejná čtyři měření jako v tabulce (cm)
vec_sirka <- c(0.2, 1.0, 1.8, 2.5)
vec_delka <- c(1.3, 3.7, 5.5, 6.0)

# Přímka B: intercept 1.1 cm, sklon 2.2 cm/cm
vec_odhad <- 1.1 + 2.2 * vec_sirka
vec_residua <- vec_delka - vec_odhad

# Prostý součet residuí, zaokrouhlený na setiny cm
round(
  x = sum(vec_residua),
  digits = 2
)
[1] 0
# Součet čtverců residuí (cm²)
sum(vec_residua^2)
[1] 0.7712

Prostý součet residuí je 0 cm, součet jejich čtverců ne. SSE má jednotku cm²; stejný princip použijeme pro všechny květy.

Která přímka je nejlepší podle těchto dat?

Přímka Intercept (cm) Sklon (cm/cm) SSE pro 4 květy (cm²)
A 0,5 1,8 6,25
B 1,1 2,2 0,77
C 1,7 2,6 6,82


Vyberte přímku s nejmenším SSE a vysvětlete, co toto číslo shrnuje.

Počítač hledá nejmenší součet čtverců

Co hledá lm()

Intercept a sklon, které dávají nejmenší SSE.

Proč tuto přímku

Přímka leží podle zvoleného pravidla celkově nejblíže naměřeným bodům.


lm() použije statistické pravidlo: nejmenší součet čtverců residuí.

Přímka odhadnutá ze všech květů

Stejná měření v R


# Načteme tabulku kosatců
data_kosatce <-
  read.csv(file = "data/kosatce.csv")

Sloupce souboru

  • sirka_listku: prediktor (cm)
  • delka_listku: odezva (cm)
  • druh, delka_kalisniho_listku: zatím mimo model

kosatce.csv: uložte do složky data ve svém projektu v R.

Co obsahuje data_kosatce?

# Názvy, typy a první hodnoty sloupců
str(object = data_kosatce)
'data.frame':   150 obs. of  4 variables:
 $ sirka_listku          : num  0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.3 0.2 0.2 0.1 ...
 $ delka_listku          : num  1.4 1.4 1.3 1.5 1.4 1.7 1.4 1.5 1.4 1.5 ...
 $ druh                  : chr  "setosa" "setosa" "setosa" "setosa" ...
 $ delka_kalisniho_listku: num  5.1 4.9 4.7 4.6 5 5.4 4.6 5 4.4 4.9 ...
# Počet chybějících hodnot v každém sloupci
colSums(x = is.na(x = data_kosatce))
          sirka_listku           delka_listku                   druh 
                     0                      0                      0 
delka_kalisniho_listku 
                     0

Před modelováním zkontrolujte názvy, typy a chybějící hodnoty. Rozsahy obou měření jsme viděli v úvodní tabulce.

Jak funkce lm() spojuje odezvu a prediktor?

lm(
  formula = odezva ~ prediktor,
  data = data
)

lm = linear model = lineární model

Znak ~ čteme: odezvu vysvětlujeme pomocí prediktoru.

Vzorec modelu (formula)

delka_listku ~ sirka_listku

odezva ~ prediktor

Data (data)

data_kosatce: tabulka se všemi 150 květy

Jaké koeficienty model odhadne?

Stejná měření se třemi kandidátními přímkami A, B a C, odlišenými typem čáry a popiskem.

Přímka Intercept (cm) Sklon (cm/cm)
A 0,5 1,8
B 1,1 2,2
C 1,7 2,6


Odhadněte předem

lm() použije všech 150 květů. Bude sklon odhadnutého modelu nejblíž přímce A, B, nebo C?

Jaké koeficienty model odhadne?

mod_listky <-
  lm(
    formula = delka_listku ~ sirka_listku,
    data = data_kosatce
  )
coef(object = mod_listky)
 (Intercept) sirka_listku 
    1.083558     2.229940
Parametr Odhad Jednotka
Intercept 1,08 cm
Sklon 2,23 cm/cm

Odhadnutý sklon 2,23 cm/cm je nejblíž přímce B (2,2), ale není s ní totožný.

Přímka odhadnutá z těchto měření

Přímka odhadnutá ze všech měření kosatců pomocí lm.

Odhadnutá délka (cm) = 1,08 + 2,23 × šířka (cm)

Co znamená odhadnutý sklon?

Sklon je 2,23 cm/cm. Která interpretace je správná?


A) Přesný rozdíl délky u každé dvojice květů, jejichž šířky se liší o 1 cm.

B) Průměrný rozdíl délky dvou květů, jejichž šířky se liší o 1 cm.

C) Podíl variability délky, který vysvětluje šířka korunního lístku.


Zvolte A/B/C. Zdůvodněte, jaké dvě veličiny a jaké jednotky sklon spojuje.

Jakou délku čekáme u nového květu?

Bodový graf s fialovou přímkou lineárního modelu; fialový bod na přímce u šířky 2 cm ukazuje odhadnutou délku 5,54 cm.

\[ \begin{aligned} \text{odhadnutá délka} &= \text{intercept} \\ &\quad + \text{sklon} \cdot \text{šířka} \\ &= \text{1,08} + \text{2,23} \cdot \text{2} \\ &= \text{5,54}\ \text{cm} \end{aligned} \]

Váš odhad z úvodu

Podobně široké květy měly v průměru 5,56 cm.

Lineární model vrací typickou délku pro danou šířku. Jednotlivé nové květy se od ní budou lišit; jak přesný je samotný odhad, ukáže příští lekce.

Co už víme o korunních lístcích?

Mají širší korunní lístky kosatců také větší délku — a pokud ano, o kolik?


Co můžeme říct

Ano. Dva květy, jejichž šířky se liší o 1 cm, se podle modelu liší v délce v průměru o 2,23 cm.

U nového květu širokého 2 cm lineární model odhaduje délku 5,54 cm.

Co zatím nevíme

  • Jak přesný je odhad 2,23 cm/cm?
  • Nepřehlíží jedna přímka systematický vzor?

Souvislost délky a šířky není důkaz příčiny

Biologický závěr

Asociace \(\neq\) příčina

Model popisuje vztah v datech. Bez dalšího výzkumného designu neprokazuje, že větší šířka způsobuje větší délku.

Co zůstává mimo přímku?

Jak jsou residua rozdělená?

Histogram residuí v centimetrech s nulovou referenční čarou.

Kde leží většina residuí a jak daleko sahají od nuly?

Stejná residua, ale s křivkou

Stejný histogram residuí s tmavou hladkou zvonovitou křivkou se středem v nule; sloupce křivku přibližně sledují.

Většina residuí leží blízko nuly. Čím dál od nuly, tím jich je méně, na obě strany podobně.

Tmavá křivka ukazuje takový symetrický zvonovitý tvar. Říká se mu normální rozdělení.

Lineární model předpokládá, že residua mají přibližně normální rozdělení. Proč na tom záleží, vysvětlíme v dalších lekcích.

Mění se residua podél odhadnuté délky?

Odhadnutá délka proti residuu jednotlivých květů s nulovou referenční čarou.

  • každý bod je jeden květ
  • nad nulou model délku podhodnotil
  • pod nulou model délku nadhodnotil
  • hledáme neuspořádaný mrak kolem nuly

Vidíte neuspořádaný mrak, nebo zbývající vzor?

Odhadnutá délka proti residuu jednotlivých květů s nulovou referenční čarou.

Diskuze se sousedem — 2 min

Najděte jednu oblast s převahou residuí nad nebo pod nulou. Co to říká o odhadované délce?

Které stopy by nás u přímky zneklidnily?

Schématické vzory; grafy nepředstavují další měření kosatců.

Schémata neuspořádaného mraku, oblouku, trychtýře a běhů v pořadí měření; panel D používá pořadí.

Přiřaďte: tvar vztahu · měnící se rozptýlení · pořadí měření.

B: tvar vztahu · C: měnící se rozptýlení · D: pořadí měření. A model neschvaluje.

Stejná původní data, ale s druhem

Stejná šířka a délka květů se společnou přímkou a odlišenými druhy.

Co vidíte?

Tvoří tři druhy jeden společný mrak kolem přímky, nebo samostatné skupiny?

Stejná residua, ale s druhem

Stejná residua, jejich druhy odlišené barvami; skupiny neleží vůči nule stejně.

Diskuze se sousedem — 1 min

Který druh model spíše nadhodnocuje a který podhodnocuje? Podle čeho to poznáte?

Co model neviděl?

Chybějící prediktor

Druh kosatce

Jedna přímka zachytila celkový růst, ale druhy netvoří jeden společný mrak. Jejich struktura proto zůstává v residuích.

versicolor: 84 % residuí nad nulou → podhodnocuje · setosa: 78 % pod nulou → nadhodnocuje · virginica: 64 % pod nulou, hlavně nejširší květy


První model je začátek argumentu, ne jeho automatický konec.

Závěr

Shrnutí

  • Lineární model: změříme prediktor a přímka vrátí odhadnutou odezvu.
  • lm() hledá přímku s nejmenším součtem čtverců residuí; sklon je průměrný rozdíl odezvy mezi pozorováními, jejichž prediktor se liší o jednu jednotku.
  • Residuum je rozdíl mezi naměřenou a odhadnutou hodnotou; ukazuje, co model u jednotlivých pozorování nevysvětlil.
  • Vzor v residuích upozorňuje na chybějící strukturu nebo omezení modelu.

Co potřebujete vidět, než napíšete „o centimetr širší lístek, o 2,23 cm delší lístek“?


Jaké tři otázky položíte autorovi, který vám ukáže jen sklon 2,23 cm/cm bez grafu?


Řekněte sousedovi jednou větou

Kterou z otázek byste položili jako první, a proč?

Jak přesný je odhad sklonu? Následující lekce přidá nejistotu odhadu.