Podkladové čtenářské materiály k přednášce
V minulé lekci jsme se naučili určit, co představuje jeden řádek, rozpoznat typ jedné proměnné a zvolit pro ni vhodný souhrn a graf. V této lekci položíme druhou proměnnou vedle první. Stejná pravidla stále platí, ale otázka se mění: nehledáme už jen tvar jednoho rozdělení, nýbrž vztah mezi dvěma znaky.
U živočichů často čekáme, že větší tělo bude souviset s většími orgány nebo končetinami. U tučňáků si proto můžeme položit jednoduchou otázku: mají jedinci s delší ploutví také větší tělesnou hmotnost? Tato otázka je vhodná pro první krok do světa vztahů dvou proměnných, protože nás nutí přemýšlet nejen o tvaru vzoru, ale i o variabilitě dat.
Po prostudování této lekce budete schopni:
Dataset Palmer Penguins zachycuje měření dospělých tučňáků z Palmerova souostroví v letech 2007–2009. Jeden řádek odpovídá jednomu změřenému jedinci. Délka ploutve je v milimetrech a tělesná hmotnost v gramech; druh a ostrov označují skupiny. Původní data zveřejnil projekt Palmer Penguins pod CC0.
Soubor palmer_penguins.csv je součástí materiálů. Pro následující kód jej uložte do složky data ve svém projektu v R. Načtením vznikne tabulka data_puvodni; prázdná pole přečteme jako chybějící hodnoty NA. Příkaz dim() ukáže počet řádků a sloupců, head() první tři řádky vybraných sloupců:
data_puvodni <-
read.csv(
file = "data/palmer_penguins.csv",
na.strings = ""
)
dim(x = data_puvodni)[1] 344 8head(
x = data_puvodni[c("species", "flipper_length_mm", "body_mass_g")],
n = 3
) species flipper_length_mm body_mass_g
1 Adelie 181 3750
2 Adelie 186 3800
3 Adelie 195 3250Sloupec species obsahuje druh, flipper_length_mm délku ploutve a body_mass_g hmotnost. Zkontrolujeme, zda některé z obou měření chybí. Funkce is.na() označí chybějící hodnoty a sum() jejich počet:
sum(is.na(x = data_puvodni$flipper_length_mm))[1] 2sum(is.na(x = data_puvodni$body_mass_g))[1] 2Bod potřebuje známou délku i známou hmotnost téhož jedince. complete.cases() označí řádky s oběma hodnotami; hranaté závorky zachovají celé tyto řádky, aby se dvojice nerozpojily. V nové tabulce použijeme české názvy sloupců:
vec_uplne <-
complete.cases(
data_puvodni$flipper_length_mm,
data_puvodni$body_mass_g
)
data_pary <- data_puvodni[vec_uplne, ]
data_tucnaci <-
data.frame(
druh_tucnaka = data_pary$species,
ostrov = data_pary$island,
delka_ploutve_mm = data_pary$flipper_length_mm,
hmotnost_g = data_pary$body_mass_g
)Původní soubor má 344 řádků. 2 řádky nemají obě měření; po jejich vynechání zůstává 342 úplných dvojic, tedy pozorování, u nichž známe délku ploutve i tělesnou hmotnost. V datech se objevují 3 druhy (Adelie, Chinstrap, Gentoo) ze 3 ostrovů. Známé délky ploutve se pohybují od 172 do 231 mm a hmotnosti od 2700 do 6300 g. Kontrola rozsahu pomáhá odhalit zjevnou chybu jednotek nebo nesmyslnou hodnotu ještě před kreslením grafu.
Na tomto datasetu je užitečné to, že biologický příběh dává smysl i bez složité statistiky. Delší ploutev může souviset s větší tělesnou velikostí, ale zároveň víme, že do výsledku vstupují i další zdroje rozdílů mezi jedinci.
Na obrázku výše jsou 3 druhy, se kterými budeme pracovat. Už z ilustrace je vidět, že se mezi nimi mohou lišit tělesné proporce. To je dobrá připomínka, že část rozptýlení bodů v bodovém grafu může souviset i s tím, že nesledujeme jediný homogenní typ jedince.
Jako první krok se ale na data podíváme co nejjednodušším způsobem: bez rozlišování druhů, jen jako na vztah mezi délkou ploutve a tělesnou hmotností.
Nejprve si zobrazíme co nejjednodušší bodový graf. V tuto chvíli nechceme nic testovat ani odhadovat pomocí modelu. Chceme si všimnout, jak data vypadají.
Tento první graf obsahuje 342 tučňáků. Stejná data si později vyzkoušíte číst i pomocí modelu.
Než si podobný graf nakreslíme sami, je užitečné v R rychle zkontrolovat prvních několik hodnot na obou osách:
head(
# Prvních šest délek ploutve — hodnoty na ose x
x = data_tucnaci$delka_ploutve_mm
)[1] 181 186 195 193 190 181head(
# Prvních šest hmotností — hodnoty na ose y
x = data_tucnaci$hmotnost_g
)[1] 3750 3800 3250 3450 3650 3625Jakmile víme, které dvě proměnné chceme porovnat, můžeme tentýž první bodový graf rychle nakreslit v základním R:
plot(
# Každý řádek dat vytvoří jeden bod se dvěma souřadnicemi
x = data_tucnaci$delka_ploutve_mm,
y = data_tucnaci$hmotnost_g,
# Popisky připomínají význam a jednotky obou os
xlab = "Délka ploutve (mm)",
ylab = "Tělesná hmotnost (g)",
# Plné, průhledné body omezí překrývání
pch = 16,
col = rgb(red = 0.54, green = 0.54, blue = 0.54, alpha = 0.6)
)
Než budete číst dál, zkuste se u grafu zastavit u tří krátkých otázek:
Po prvním pohledu na graf se teď vyplatí pojmenovat, co jsme vlastně zobrazili. Pracujeme se dvěma numerickými proměnnými:
flipper_length_mm)body_mass_g)species)Když jen popisujeme, zda dvě měření souvisejí, je přiřazení os libovolné. Kdybychom osy prohodili — délku svisle a hmotnost vodorovně — bodový mrak by vypadal jinak, ale směr i těsnost vztahu by zůstaly naprosto stejné. Pojmy prediktor a odezva, které popisují asymetrii os (jedna proměnná „vysvětluje“ druhou), patří k regresním modelům; ty si ukážeme v pozdějších lekcích.
Bodový graf nám umožňuje podívat se současně na směr vztahu i na to, jak moc jsou hodnoty rozptýlené kolem hlavního vzoru.
Když ale sledujeme vztah dvou proměnných obecněji, typ grafu vybíráme podle toho, jaké proměnné máme k dispozici:
Obecné pravidlo tedy nezní jen „je v datech nějaký vztah?“, ale také „jaký graf vůbec dává pro tuto dvojici proměnných smysl?“ Ke všem třem situacím se vrátíme v závěru lekce. Do té doby zůstaneme u první z nich a budeme dál číst jeden bodový graf dvou numerických proměnných.
U jednorozměrných dat sledujeme rozptýlení jen v jednom směru, například jak moc se hodnoty hmotnosti liší kolem průměru. V bodovém grafu ale kolísají obě osy současně. Jeden tučňák může mít o něco delší ploutev než jiný a zároveň se může lišit i hmotností. Výsledkem je mrak bodů, který má šířku i výšku.
Na obrázku níže je stejný vztah zobrazený dvakrát. Vlevo si všímáme, že i při podobné délce ploutve mohou mít jedinci docela odlišnou hmotnost. Vpravo naopak vidíme, že i při podobné hmotnosti se může měnit délka ploutve.
To je důležité pro interpretaci. Když vidíme podlouhlý oblak bodů směřující zleva dole doprava nahoru, znamená to, že vedle celkového trendu stále existuje velké rozptýlení bodů. Dva jedinci s téměř stejnou délkou ploutve nemusí mít stejnou hmotnost a dva podobně těžcí jedinci nemusí mít stejně dlouhou ploutev.
Variabilita v biologických datech není chyba, kterou bychom měli odstranit. Je to vlastnost reálného světa. Dva tučňáci mohou mít podobně dlouhou ploutev, ale lišit se druhem, pohlavím, věkem nebo celkovou tělesnou stavbou. K rozptýlení bodů přispívá i běžná nepřesnost měření a to, že žádný biologický vztah nebývá dokonale přesný.
Na tomto místě je užitečné rozlišit několik zdrojů variability, které se v grafu míchají dohromady:
V našem datasetu se délka ploutve pohybuje přibližně od 172 do 231 mm a tělesná hmotnost od 2700 do 6300 g. Už z tohoto rozsahu je vidět, že nejde o několik téměř stejných jedinců, ale o biologicky pestrý soubor měření.
Jeden ze zdrojů variability můžeme v datech přímo ukázat. Vrátíme se ke stejnému bodovému grafu a odkryjeme ještě jednu informaci: druh tučňáka. Původní šedý oblak bodů se rozpadne na několik podskupin, které se částečně překrývají, ale zároveň mají vlastní polohu a vlastní rozptýlení.
Biologicky je to důležité: v původním bodovém grafu jsme viděli „jeden“ vztah, ale část tohoto vztahu je tvořena tím, že různé druhy mají různé typické kombinace délky ploutve a hmotnosti. Jinými slovy: část rozptýlení není jen náhodný šum, ale odráží i skutečnou strukturu dat.
Jakmile jsou druhy vidět, je snazší pochopit, proč byl původní oblak bodů tak široký. Část variability vzniká uvnitř druhů, ale část je dána i tím, že v jednom obrázku mícháme více biologicky odlišných skupin. To je přesně okamžik, kdy nám doplňková kategoriální proměnná pomůže lépe číst vztah dvou numerických proměnných.
Rozptyl jedné proměnné popisuje, jak moc jsou její hodnoty rozptýleny kolem průměru. U dvou proměnných nás navíc zajímá, zda se jejich odchylky od průměrů pohybují společně: mají tučňáci s nadprůměrně dlouhou ploutví také nadprůměrnou hmotnost?
Odpověď nejlépe uvidíme v grafu. Do bodového grafu přidáme dvě přerušované čáry — svislou v průměrné délce ploutve (200,9 mm) a vodorovnou v průměrné hmotnosti (4202 g). Graf se tím rozdělí na čtyři kvadranty:
Pro každého tučňáka můžeme spočítat dvě odchylky — délky ploutve od jejího průměru a hmotnosti od jejího průměru — a vynásobit je. Znaménko tohoto součinu závisí na kvadrantu:
Když součiny všech tučňáků sečteme a vydělíme počtem pozorování minus jedna, dostaneme kovarianci (anglicky covariance). Rozhoduje znaménko i velikost jednotlivých součinů, ne jen počet bodů v kvadrantech: několik velmi vzdálených bodů může přispět víc než mnoho bodů blízko středu.
Výpočet kovariance slovy: u každého tučňáka vynásobíme odchylku délky ploutve od jejího průměru odchylkou hmotnosti od jejího průměru, součiny sečteme a vydělíme počtem pozorování minus jedna. Pro stejný malý vzorek 4 tučňáků Adelie jako u rozptylu ukazuje tabulka všechny potřebné hodnoty:
| Tučňák | Odch. délky (mm), prům. 188,75 mm | Odch. hmotnosti (g), prům. 4050 g | Součin odchylek (mm·g) |
|---|---|---|---|
| 1 | -7.75 | -300 | 2325.0 |
| 2 | -2.75 | -250 | 687.5 |
| 3 | 1.25 | 200 | 250.0 |
| 4 | 9.25 | 350 | 3237.5 |
Stejný výpočet zapsaný názvy obou proměnných:
\[ \begin{gathered} \text{výběrová kovariance délky ploutve a hmotnosti} \\ = \frac{ \substack{\text{součet součinů odchylek} \\ \text{délky ploutve a hmotnosti}} }{\text{počet tučňáků} - \text{jedna}} \end{gathered} \]
Po dosazení odchylek z tabulky:
\[\begin{align} \text{kovariance} &= \frac{\substack{(-7,75) \cdot (-300) + (-2,75) \cdot (-250) \\ + (1,25) \cdot (200) + (9,25) \cdot (350)}}{4 - 1} \\[6pt] &= \frac{2325,0 + 687,5 + 250,0 + 3237,5}{3} \\[6pt] &= \frac{6500}{3} \approx 2167\text{ mm·g} \end{align}\]
V obecném zápisu označíme délku ploutve \(x\), hmotnost \(y\) a jejich výběrovou kovarianci \(\operatorname{cov}(x,y)\). Pro \(n\) pozorování:
\[\text{cov}(x, y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\]
Zde \(x_i\) označuje délku ploutve jednoho tučňáka, \(y_i\) jeho hmotnost, \(\bar{x}\) a \(\bar{y}\) příslušné průměry, \(n\) počet tučňáků a \(\text{cov}(x,y)\) výběrovou kovarianci obou proměnných.
V celém souboru tučňáků převáží kladné součiny nad zápornými, takže kovariance vychází kladná: přibližně 9824 mm·g.
Kovariance ale závisí na jednotkách. Kdybychom přepočítali délku z milimetrů na centimetry a hmotnost ponechali v gramech, kovariance by se desetkrát zmenšila, přestože se vztah mezi tučňáky nijak nezměnil. Abychom vztah popsali číslem nezávislým na jednotkách, přepočítáme kovarianci pomocí směrodatných odchylek obou proměnných.
Na stejném malém vzorku 4 tučňáků si ukážeme plný výpočet Pearsonova korelačního koeficientu. Potřebujeme stejné součiny odchylek jako u kovariance a navíc čtverce odchylek obou proměnných:
| Tučňák | Odch. délky (mm) | Odch. hmotnosti (g) | Součin odchylek | Čtverec odch. délky | Čtverec odch. hmotnosti |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | -7.75 | -300 | 2325.0 | 60.0625 | 90000 |
| 2 | -2.75 | -250 | 687.5 | 7.5625 | 62500 |
| 3 | 1.25 | 200 | 250.0 | 1.5625 | 40000 |
| 4 | 9.25 | 350 | 3237.5 | 85.5625 | 122500 |
Výpočet zapsaný názvy veličin:
\[ \begin{gathered} \text{Pearsonův korelační koeficient} \\ = \frac{ \substack{\text{součet součinů odchylek} \\ \text{délky ploutve a hmotnosti}} }{ \sqrt{\substack{\text{součet čtverců odchylek} \\ \text{délky ploutve}}} \cdot \sqrt{\substack{\text{součet čtverců odchylek} \\ \text{hmotnosti}}} } \end{gathered} \]
Součty čtverců získáme ze dvou posledních sloupců tabulky. Pro délku ploutve rozepíšeme všechny čtyři příspěvky:
\[ \begin{gathered} (-7,75)^2 + (-2,75)^2 + (1,25)^2 + (9,25)^2 \\ = 60,0625 + 7,5625 + 1,5625 + 85,5625 \\ = 154,75\text{ mm}^2 \end{gathered} \]
Stejně postupujeme u hmotnosti:
\[ \begin{gathered} (-300)^2 + (-250)^2 + (200)^2 + (350)^2 \\ = 90000 + 62500 + 40000 + 122500 \\ = 315000\text{ g}^2 \end{gathered} \]
Součet součinů odchylek vydělíme odmocninou součinu těchto dvou součtů:
\[\begin{align} \text{korelace} &= \frac{\substack{(-7,75) \cdot (-300) + (-2,75) \cdot (-250) \\ + (1,25) \cdot (200) + (9,25) \cdot (350)}}{\sqrt{154,75} \cdot \sqrt{315000}} \\[6pt] &= \frac{2325,0 + 687,5 + 250,0 + 3237,5}{\sqrt{154,75 \cdot 315000}} \\[6pt] &= \frac{6500}{\sqrt{154,75 \cdot 315000}} \approx 0,93 \end{align}\]
Tímto přepočtem dostaneme Pearsonův korelační koeficient, který leží vždy v intervalu \([-1, +1]\). Je to totéž jako vydělit kovarianci součinem směrodatných odchylek obou proměnných: kovariance i oba rozptyly obsahují stejné dělení počtem pozorování minus jedna, které se ve zlomku vykrátí. Pro čtyři tučňáky z tabulky vyšlo 0,93. V celém souboru tučňáků vychází přibližně 0,87 — přesně stejný výsledek jako přímý výpočet (0,87), jen odvozený jinou cestou.
Pearsonův korelační koeficient označujeme symbolem \(r\). Obecně jej můžeme zapsat bez jednotek takto:
\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}\]
Zde \(r\) označuje Pearsonův korelační koeficient, \(x_i\) a \(y_i\) dvojici hodnot jednoho tučňáka, \(\bar{x}\) a \(\bar{y}\) průměry obou proměnných a \(n\) počet pozorování. Čitatel shrnuje společný pohyb odchylek; jmenovatel jej převede na bezrozměrné měřítko.
Graf je vždy první krok, ale někdy chceme vztah dvou numerických proměnných shrnout i číslem. K tomu slouží korelace. Pearsonovo \(r\) jsme před chvílí odvodili z kovariance — vydělíme kovarianci součinem směrodatných odchylek a dostaneme číslo v rozsahu \([-1, +1]\). V datech tučňáků vychází přibližně 0,87.
Druhou běžnou možností je Spearmanova korelace (anglicky Spearman’s rank correlation). Hodnoty obou proměnných nejprve nahradí jejich pořadím (nejkratší ploutev = 1, druhá nejkratší = 2, …) a korelaci spočítá z těchto pořadí. Ptá se tedy, zda vztah stále roste nebo stále klesá, i když body neleží na přímce; takovému vztahu se odborně říká monotónní. U tučňáků vychází Spearmanova korelace přibližně 0,84.
V R si obě čísla spočítáme přímo nad stejnými dvěma sloupci, které jsme předtím použili pro bodový graf:
cor(
# Pearsonova korelace shrnuje lineární vztah původních hodnot
x = data_tucnaci$delka_ploutve_mm,
y = data_tucnaci$hmotnost_g,
method = "pearson"
)[1] 0.8712018cor(
# Spearmanova korelace místo hodnot porovnává jejich pořadí
x = data_tucnaci$delka_ploutve_mm,
y = data_tucnaci$hmotnost_g,
method = "spearman"
)[1] 0.8399741Takto dostaneme dvě stručná čísla, která shrnují tutéž biologickou otázku trochu jiným způsobem: Pearson zdůrazňuje lineární vztah, Spearman pořadí hodnot.
Na schématu níže jsou čtyři typické situace. Kladný vztah používá skutečná měření tučňáků; záporný vztah, zakřivený vztah a příklad bez zřetelné souvislosti jsou zkonstruované výukové ilustrace, nikoli další terénní měření. Všimněte si, jak se mění tvar bodového mraku a kdy se Pearsonova a Spearmanova korelace od sebe vzdálí.
Když body tvoří přibližně přímkový oblak bez výrazně vzdálených pozorování, bývají obě korelace podobné — tak je tomu u tučňáků. V zakřiveném panelu ale Spearmanova korelace zůstává téměř 1, zatímco Pearsonova je nižší: pořadí hodnot roste téměř dokonale, ale body neleží na přímce. Rozdíl mezi oběma čísly tak sám o sobě upozorňuje, že vztah není přímkový nebo že jej ovlivňuje několik vzdálených bodů.
V této lekci je důležité hlavně to, že obě čísla mají podpůrnou roli. Nenahrazují graf ani biologickou interpretaci. Pomáhají jen stručně vyjádřit, že delší ploutve bývají spojeny s vyšší hmotností a že tento vztah je v datech zřetelný i po převodu do číselné podoby.
Čtyři malé soubory známé jako Anscombův kvartet mají velmi podobné průměry, rozptyly i Pearsonovu korelaci. Nejdřív se podívejte na body: co byste o vztahu řekli v každém panelu, kdybyste znali jen společné číslo \(r\)?
| Soubor | Průměr x | Průměr y | Rozptyl x | Rozptyl y | Pearsonovo r |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 9,00 | 7,50 | 11,00 | 4,13 | 0,82 |
| B | 9,00 | 7,50 | 11,00 | 4,13 | 0,82 |
| C | 9,00 | 7,50 | 11,00 | 4,12 | 0,82 |
| D | 9,00 | 7,50 | 11,00 | 4,12 | 0,82 |
Čísla jsou téměř stejná, ale panely nejsou zaměnitelné: v jednom se vztah zakřivuje, jinde jej výrazně ovlivňuje jediný bod. Proto začínáme grafem a teprve pak čteme korelaci nebo další souhrn.
V této chvíli už umíme vztah dvou numerických proměnných dobře popsat slovně i číslem. Je ale důležité nepřekročit hranici toho, co nám korelace opravdu říká. Korelace popisuje, že se dvě proměnné mění společně, ale sama o sobě ještě neukazuje, která proměnná je příčinou druhé.
U tučňáků tedy můžeme bezpečně říct, že delší ploutev bývá spojena s vyšší hmotností. Nemůžeme ale jen z korelace uzavřít, že změna délky ploutve přímo způsobuje změnu hmotnosti. Část vztahu může vznikat i tím, že obě proměnné souvisejí s celkovou velikostí těla nebo s druhem.
Modelování umožní vztah popsat v původních jednotkách a zohlednit další sledované proměnné. Příčinný výklad však závisí na designu studie a předpokladech, které samotný graf, korelace ani přidání modelu nezaručí. Také korelační odhad má nejistotu; její vyjádření není vyhrazené modelům a budeme se mu věnovat v další části kurzu.
Typ grafu nevybíráme podle toho, co je „hezčí“, ale podle toho, jaký vztah mezi proměnnými chceme přečíst. Jinak čteme dvě numerické proměnné na osách, jinak porovnáváme skupiny proti číslům a jinak sledujeme složení dvou kategoriálních proměnných.
Jako rychlá pomůcka pomáhají dvě otázky:
Právě proto jsme v této lekci začali bodovým grafem (anglicky scatter plot). Když jsou obě proměnné numerické, bývá bodový graf nejlepší první volbou: každý bod nese dvojici hodnot a my můžeme najednou číst směr vztahu, rozptýlení bodů, možné shluky i odlehlá pozorování.
U tučňáků jsme v něm viděli, že delší ploutve bývají spojené s vyšší hmotností, ale také že vztah není dokonale těsný. Právě to je důvod, proč bodový graf nepřeskakovat. Žádné jediné číslo nám neukáže tvar oblaku bodů tak přímo.
Když ale chceme ve stejných datech zvýraznit jinou vlastnost vztahu, můžeme použít i několik dalších variant. Každá z nich ukazuje něco trochu jiného.
Čára pomáhá rychle přečíst hlavní směr vztahu, ale body pořád zůstávají viditelné.
Když je bodů hodně, můžeme místo jednotlivých bodů ukázat, kde se měření hromadí nejvíce.
Místo počtů v mřížce můžeme ukázat hladké vrstevnice: čím tmavší oblast, tím víc tučňáků má podobnou kombinaci délky ploutve a hmotnosti.
Rozdělení do panelů pomáhá odlišit, co je společný trend a co je rozdíl mezi skupinami.
Jakmile nás začne zajímat přímo vztah mezi druhem a tělesnou hmotností, bodový graf už není nejpřirozenější první volbou. Teď totiž nesrovnáváme dvě číselné osy, ale kategoriální proměnnou určující skupiny a numerickou proměnnou, která se mezi nimi porovnává.
Než si přečtete vysvětlení, zkuste si v grafu najít tři věci:
Na tomto grafu nečteme směr vztahu jako v bodovém grafu. Místo toho sledujeme, zda se rozdělení tělesné hmotnosti mezi druhy překrývá, nebo zda některé skupiny leží typicky výš či níž. I to je vztah dvou proměnných: hodnota jedné proměnné se mění podle úrovně druhé.
Na první pohled se zdá, že tučňáci druhu Gentoo leží typicky výš než Adelie a Chinstrap. Zároveň ale skupiny nejsou úplně oddělené a i uvnitř každého druhu zůstává viditelné rozptýlení. Pro tuto kombinaci typů proměnných je proto často přirozenější krabicový graf (anglicky box plot) nebo body rozdělené do skupin než klasický bodový graf.
Totéž srovnání ale můžeme nakreslit i jinak podle toho, zda chceme zdůraznit jednotlivé body, šířku skupin nebo jen jejich shrnutí.
Nejlépe ukazují jednotlivá měření a překryv skupin, ale hůře shrnují jejich střed.
Rychle shrnou polohu a překryv skupin, ale skryjí jemnější tvar rozložení uvnitř každého druhu.
Hladký obrys dává lepší představu o tom, kde je v každé skupině více a méně hodnot.
Skládaný histogram ukazuje skutečné počty tučňáků v intervalech hmotnosti; barva rozlišuje druh.
Skládaná hustota neukazuje počty, ale relativní složení: který druh převažuje při dané hmotnosti.
Další užitečný případ jsou dvě kategoriální proměnné najednou.
Jinou situaci dostaneme, když obě proměnné rozdělují data do skupin. V datech tučňáků je takovou dvojicí druh a ostrov, na kterém byl jedinec změřen. Teď nečteme číselné hodnoty na ose, ale počty a složení kombinací kategorií.
U takového grafu nás zajímá něco jiného než u boxplotu. Neptáme se, jaká je typická hodnota, ale jaké je zastoupení druhů na jednotlivých ostrovech. Proto se zde hodí proporční skládaný sloupcový graf (anglicky proportional stacked bar chart): každý ostrov má stejnou výšku 100 % a my snadno porovnáváme podíly.
Než si přečtete vysvětlení, zkuste odpovědět:
Stejná dvojice kategoriálních proměnných se dá zobrazit i jinými způsoby podle toho, zda chceme zdůraznit podíly, absolutní počty nebo přehled celé tabulky najednou.
Když mají všechny sloupce stejnou výšku, snadno porovnáváme složení ostrovů mezi sebou.
Vedle sebe postavené sloupce se hodí tehdy, když nás zajímá i velikost jednotlivých skupin, nejen jejich složení.
Když chceme rychle přečíst celou tabulku kombinací, je praktické převést ji na barevnou mřížku.
Každý čtvereček představuje jednoho tučňáka. Graf tak ukáže složení i velikost skupin najednou: ostrov s více změřenými tučňáky má více čtverečků.
Plocha každé bubliny odpovídá počtu tučňáků v kombinaci druhu a ostrova. Graf je efektní, ale porovnávat plochy je pro oko těžší než porovnávat délky sloupců.
Ještě jiný případ je seřazená osa proti numerické proměnné.
Kategoriální proměnná může mít i přirozené pořadí. Abychom si to ukázali na stejných datech, rozdělíme délku ploutve do tří seřazených kategorií: kratší, střední a delší (každá obsahuje přibližně třetinu tučňáků). Jde jen o ukázku práce s ordinální proměnnou; pro spojitou proměnnou bychom vztah s hmotností četli raději přímo v bodovém grafu. Stejný typ grafu použijeme i pro přirozeně seřazené biologické škály, například malý–střední–velký.
Kategorii délky ploutve dáme na osu x a hmotnost jako numerickou proměnnou na osu y. V takové chvíli je užitečný opět krabicový graf (anglicky box plot), ale tentokrát je zásadní, že pořadí kategorií na ose nese informaci.
Než si přečtete vysvětlení, zkuste si všimnout tří věcí:
Tentokrát neporovnáváme nepojmenované skupiny, ale seřazené stupně. Proto má smysl sledovat, zda se s rostoucí kategorií posouvá i typická hmotnost. Kdybychom pořadí kategorií na ose promíchali, velká část sdělení grafu by se ztratila.
I zde ale existuje více rozumných variant. Některé lépe ukazují jednotlivá pozorování, jiné zase co nejstručnější souhrn podle pořadí.
Když chceme ponechat všechna měření viditelná, stačí je rozložit do stran v jednotlivých kategoriích.
Pokud chceme co nejrychleji číst posun od kratších k delším kategoriím, pomůže jednoduché spojení typických hodnot.
Hladký obrys pomůže ukázat, kde jsou v každé seřazené skupině data koncentrovaná a kde naopak řídká.
Tabulka zahrnuje také souhrny jedné proměnné z předchozí lekce: histogram pro rozdělení číselných hodnot a sloupcový graf pro četnosti kategorií. U seřazených skupin můžeme porovnat mediány; jednotlivá měření přitom nesmíme zaměnit za jejich souhrn.
| Typ proměnných | Co chceme zobrazit | Dobrý první graf | Co v něm hledat | Náhled |
|---|---|---|---|---|
| jedna numerická | Jak vypadá rozdělení jedné numerické proměnné | histogram | tvar rozdělení, rozptýlení, odlehlá pozorování | |
| jedna kategoriální | Kolik pozorování padá do jednotlivých skupin | sloupcový graf | četnosti, podíly, nerovnováha skupin | |
| numerická × numerická | Jak spolu souvisejí dvě numerické proměnné | bodový graf | směr, tvar, rozptýlení, odlehlá pozorování | |
| kategoriální × numerická | Jak se liší numerická proměnná mezi skupinami | body ve skupinách; boxplot + body | rozdíly mezi skupinami, překryv, rozptýlení uvnitř skupin | |
| kategoriální × kategoriální | Jak se kombinují dvě skupinové proměnné | tabulka četností; sloupce počtů nebo podílů | složení kombinací, počty vs. podíly | |
| ordinální × numerická | Jak se mění numerická proměnná napříč seřazenými stupni | boxplot se seřazenou osou | posun mediánu, překryv, monotónní trend |
Tahle tabulka není seznam všech možných grafů. Je to bezpečný první krok pro situaci, kdy si nejdřív potřebujeme ujasnit, co vlastně porovnáváme. Až potom má smysl přidávat další vrstvy, jemnější styl nebo formálnější model.
Častý omyl zní: v grafu je vidět vztah, takže jsme prokázali příčinu. Graf ukázal směr a tvar vztahu a korelace vyjádřila jeho těsnost číslem. Tím však neodlišíme přímý účinek jedné proměnné od společné příčiny, například druhu nebo celkové velikosti těla. Pro tvrzení o příčině potřebujeme vhodný design studie a obhajitelné předpoklady; samotné přidání modelu příčinu neprokáže.
Správná formulace pro tuto chvíli je skromnější: v datech vidíme vzor, který je biologicky smysluplný a který chceme v dalších lekcích popsat přesněji.
Korelace již shrnula směr a těsnost vztahu číslem bez jednotek. V další lekci navážeme lineárním modelem: vztah popíšeme v původních jednotkách a budeme se ptát, o kolik gramů se typická hmotnost liší při rozdílu jednoho milimetru délky ploutve. Odhady a jejich nejistotu rozvineme v další části kurzu.
Palmer Penguins ale nabízí i další proměnné, které se budou hodit pro pozdější příklady, například délku a hloubku zobáku. Stejná logika výběru grafu a interpretace vztahu se pak bude dát použít i na jiné biologické otázky než jen na délku ploutve a hmotnost.
Někdo vám ukáže jen číslo r = 0,87 pro délku ploutve a hmotnost tučňáků, bez grafu, a napíše titulek „Delší ploutev, těžší tučňák“. Jaké tři otázky mu položíte, než titulku uvěříte?
Pojmy použité v těchto materiálech a jejich definice. Úplný průběžně aktualizovaný slovníček je dostupný také online.
| term | definition |
|---|---|
| bodovy-graf | Graf vztahu dvou numerických proměnných, v němž každý bod představuje jedno pozorování a jeho dvě hodnoty určují polohu na osách. |
| boxplot | Graf, jehož krabice sahá od Q1 do Q3 a obsahuje medián; vousy vymezují hodnoty podle zvoleného pravidla a body za nimi upozorňují na možná odlehlá pozorování. |
| cetnost | Počet výskytů určité hodnoty nebo kategorie v datové sadě; pro kategoriální proměnné je četnost základní deskriptivní statistikou. |
| hierarchicka-data | Data, kde pozorování nejsou zcela nezávislá - jsou seskupena do vyšší úrovně (lokality, bloky, jedinci s opakovanými měřeními). |
| histogram | Graf zobrazující rozdělení hodnot numerické proměnné: hodnoty jsou seřazeny do tříd, výška sloupce udává četnost v dané třídě. |
| kategoricka-promenna | Proměnná nabývající hodnot z omezeného počtu kategorií; může být nominální (bez pořadí) nebo ordinální (s pořadím). |
| konfundovani | Jev, kdy zdánlivý efekt jednoho prediktoru je (zcela nebo zčásti) způsoben třetí proměnnou korelující s oběma. |
| korelace | Bezrozměrné číslo popisující směr a těsnost vztahu dvou proměnných; Pearsonova korelace shrnuje lineární vztah a Spearmanova monotónní vztah podle pořadí. |
| kovariance | Míra toho, nakolik se dvě numerické proměnné odchylují od svých průměrů společně; kladná kovariance značí, že mají tendenci růst spolu, záporná že se pohybují opačně. |
| linearni-model | Statistický model předpokládající, že odezva je lineární funkcí prediktorů plus chybový člen s normálním rozdělením (y = a + b·x + ε). |
| median | Hodnota rozdělující seřazená data na dvě stejně početné poloviny; 50. percentil. |
| nejistota | Rozsah, v němž nevíme přesnou hodnotu parametru kvůli omezenému a variabilnímu vzorku; kvantifikuje se pomocí intervalů spolehlivosti nebo směrodatných chyb. |
| numericka-promenna | Proměnná, jejíž hodnoty jsou čísla se smysluplnou velikostí nebo rozdílem; může být diskrétní, například počet, nebo spojitá, například délka. |
| odezva | Proměnná, jejíž variabilitu se snažíme vysvětlit nebo předpovědět; v notaci modelu `y ~ x` je odezva `y`. |
| odhad | Číslo vypočtené z pozorovaných dat jako přiblížení neznámé vlastnosti nebo parametru; jiný srovnatelný výběr může dát jiný odhad. |
| odlehla-pozorovani | Hodnota, která se výrazně odlišuje od ostatních pozorování; může být způsobena chybou měření nebo jít o skutečně extrémní případ. |
| opakovana-mereni | Data, kde stejná jednotka (jedinec, lokalita) je měřena opakovaně v čase nebo v různých podmínkách; vytváří korelaci mezi pozorováními. |
| ordinalni-promenna | Kategoriální proměnná s přirozeně seřazenými kategoriemi, jejichž vzájemné vzdálenosti však nemusí být stejné nebo známé. |
| pozorovani | Jeden zaznamenaný případ v datech, který obsahuje hodnoty jedné nebo více proměnných. |
| prediktor | Proměnná, pomocí níž vysvětlujeme variabilitu odezvy; v notaci `y ~ x` je prediktor `x`. |
| promenna | Vlastnost zaznamenaná u pozorování, která může mezi pozorováními nabývat různých hodnot, například druh, délka nebo počet. |
| prumer | Součet hodnot vydělený jejich počtem; nejběžnější míra polohy (střední hodnoty). |
| rozdeleni | Popis toho, jaké hodnoty proměnná nabývá a jak často se vyskytují; může jít o pozorované rozdělení dat nebo o teoretické pravděpodobnostní rozdělení. |
| rozptyl | Průměr čtverců odchylek od průměru; míra variability dat. Odmocnina rozptylu je směrodatná odchylka. |
| sloupcovy-graf | Graf kategoriální proměnné, v němž výška nebo délka oddělených sloupců představuje četnosti, podíly nebo jiný souhrn kategorií. |
| smerodatna-odchylka | Odmocnina rozptylu; vyjadřuje průměrnou vzdálenost hodnot od průměru ve stejných jednotkách jako původní data. |
| spojita-promenna | Numerická proměnná, která může v principu nabývat libovolné hodnoty v určitém intervalu, například délka, hmotnost nebo čas. |
| variabilita | Obecný termín pro rozsah, v němž se hodnoty proměnné liší od sebe navzájem; kvantifikuje se pomocí rozptylu, SD, IQR nebo rozsahu. |